Calcolatrice di derivate
La derivata di una funzione in un punto misura il suo tasso di variazione istantaneo — geometricamente, la pendenza della retta tangente al grafico in quel punto. Inserisci una funzione qui sotto e questo strumento stima f′(a) numericamente.
Deriva
Come funziona il calcolo
Questo strumento usa la formula delle differenze centrali: f′(a) ≈ (f(a + h) − f(a − h)) / 2h, con un piccolo passo h. È lo stesso metodo numerico che la calcolatrice grafica usa per l’analisi delle rette tangenti, quindi i risultati qui corrispondono a ciò che vedi quando ispezioni una tangente sul grafico.
La differenziazione numerica è un’approssimazione. Per funzioni lisce come polinomi, funzioni trigonometriche ed esponenziali, la stima è accurata a molte cifre decimali. In punti angolosi (come |x| in x = 0) o discontinuità, la derivata può non esistere, e lo strumento te lo dirà onestamente invece di restituire un numero fuorviante.
Cosa ti dice la derivata
Una derivata positiva significa che la funzione sta crescendo in quel punto; una derivata negativa significa che sta decrescendo. Più grande è il modulo, più ripido è il grafico. Dove la derivata è zero, il grafico si appiattisce momentaneamente — questi sono i candidati per massimi e minimi locali.
Le derivate hanno anche un significato fisico: se f(x) è la posizione nel tempo, f′(x) è la velocità; se f(x) è la velocità, f′(x) è l’accelerazione. Prova f(x) = x² in a = 2 (risultato: 4) e in a = −2 (risultato: −4) per vedere il cambio di segno attraverso il minimo.
Domande frequenti
Questa è una derivata simbolica esatta?
No — questo strumento calcola un’approssimazione numerica con il metodo delle differenze centrali. È molto accurata per funzioni lisce ma resta una stima, mostrata arrotondata a 6 cifre decimali.
Perché fallisce in alcuni punti?
Alcune funzioni non sono derivabili ovunque: |x| ha un punto angoloso in x = 0, e le funzioni con salti o asintoti verticali non hanno una pendenza sensata lì. Lo strumento segnala che non può stimare la derivata invece di indovinare.
Che rapporto c’è con la funzione retta tangente?
La retta tangente a f in x = a ha pendenza f′(a) — esattamente ciò che calcola questo strumento. Nella calcolatrice grafica puoi disegnare la retta tangente sul grafico e leggere la stessa pendenza visivamente.