Ableitungsrechner
Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt misst ihre momentane Änderungsrate — geometrisch die Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. Geben Sie unten eine beliebige Funktion ein, und dieses Tool schätzt f′(a) numerisch.
Ableiten
Wie die Berechnung funktioniert
Dieses Tool nutzt die zentrale Differenzenformel: f′(a) ≈ (f(a + h) − f(a − h)) / 2h, mit einer kleinen Schrittweite h. Es ist dieselbe numerische Methode, die der Grafikrechner für seine Tangentenanalyse verwendet, sodass die Ergebnisse hier mit dem übereinstimmen, was Sie bei der Inspektion einer Tangente auf dem Graphen sehen.
Numerisches Differenzieren ist eine Näherung. Für glatte Funktionen wie Polynome, trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen ist die Schätzung auf viele Dezimalstellen genau. An scharfen Ecken (wie |x| bei x = 0) oder Unstetigkeiten existiert die Ableitung möglicherweise nicht, und das Tool sagt Ihnen das ehrlich, statt eine irreführende Zahl zurückzugeben.
Was die Ableitung Ihnen sagt
Eine positive Ableitung bedeutet, dass die Funktion an diesem Punkt steigt; eine negative Ableitung bedeutet, dass sie fällt. Je größer der Betrag, desto steiler der Graph. Wo die Ableitung null ist, flacht der Graph momentan ab — das sind die Kandidatenstellen für lokale Maxima und Minima.
Ableitungen tragen auch physikalische Bedeutung: Wenn f(x) die Position über die Zeit ist, ist f′(x) die Geschwindigkeit; wenn f(x) die Geschwindigkeit ist, ist f′(x) die Beschleunigung. Probieren Sie f(x) = x² bei a = 2 (Ergebnis: 4) und bei a = −2 (Ergebnis: −4), um den Vorzeichenwechsel über das Minimum zu sehen.
Häufig gestellte Fragen
Ist das eine exakte symbolische Ableitung?
Nein — dieses Tool berechnet eine numerische Näherung mit der zentralen Differenzenmethode. Sie ist für glatte Funktionen hochgenau, bleibt aber eine Schätzung, angezeigt gerundet auf 6 Dezimalstellen.
Warum versagt es an manchen Punkten?
Manche Funktionen sind nicht überall differenzierbar: |x| hat eine Ecke bei x = 0, und Funktionen mit Sprüngen oder senkrechten Asymptoten haben dort keine sinnvolle Steigung. Das Tool meldet, dass es die Ableitung nicht schätzen kann, statt zu raten.
Wie hängt das mit der Tangentenfunktion zusammen?
Die Tangente an f bei x = a hat die Steigung f′(a) — genau das, was dieses Tool berechnet. Im Grafikrechner können Sie die Tangente auf den Graphen zeichnen und dieselbe Steigung visuell ablesen.