Calculatrice de dérivées
La dérivée d’une fonction en un point mesure son taux de variation instantané — géométriquement, la pente de la tangente au graphe en ce point. Saisissez n’importe quelle fonction ci-dessous et cet outil estime f′(a) numériquement.
Dériver
Comment fonctionne le calcul
Cet outil utilise la formule des différences centrées : f′(a) ≈ (f(a + h) − f(a − h)) / 2h, avec un petit pas h. C’est la même méthode numérique que la calculatrice graphique utilise pour son analyse des tangentes : les résultats ici correspondent donc à ce que vous voyez quand vous inspectez une tangente sur le graphe.
La dérivation numérique est une approximation. Pour les fonctions lisses comme les polynômes, les fonctions trigonométriques et les exponentielles, l’estimation est précise à de nombreuses décimales. Aux coins aigus (comme |x| en x = 0) ou aux discontinuités, la dérivée peut ne pas exister, et l’outil vous le dira honnêtement au lieu de renvoyer un nombre trompeur.
Ce que la dérivée vous apprend
Une dérivée positive signifie que la fonction croît en ce point ; une dérivée négative signifie qu’elle décroît. Plus la magnitude est grande, plus le graphe est raide. Là où la dérivée est nulle, le graphe s’aplatit momentanément — ce sont les emplacements candidats pour les maxima et minima locaux.
Les dérivées ont aussi un sens physique : si f(x) est la position en fonction du temps, f′(x) est la vitesse ; si f(x) est la vitesse, f′(x) est l’accélération. Essayez f(x) = x² en a = 2 (résultat : 4) et en a = −2 (résultat : −4) pour voir le changement de signe de part et d’autre du minimum.
Questions fréquentes
Est-ce une dérivée symbolique exacte ?
Non — cet outil calcule une approximation numérique avec la méthode des différences centrées. Elle est très précise pour les fonctions lisses mais reste une estimation, affichée arrondie à 6 décimales.
Pourquoi échoue-t-il en certains points ?
Certaines fonctions ne sont pas dérivables partout : |x| a un coin en x = 0, et les fonctions avec des sauts ou des asymptotes verticales n’ont pas de pente sensée à ces endroits. L’outil signale qu’il ne peut pas estimer la dérivée plutôt que de deviner.
Quel est le lien avec la fonction de tangente ?
La tangente à f en x = a a pour pente f′(a) — exactement ce que cet outil calcule. Dans la calculatrice graphique, vous pouvez tracer la tangente sur le graphe et lire la même pente visuellement.