Calcolatrice di integrali
L’integrale definito di f da a a b misura l’area con segno tra il grafico e l’asse x su quell’intervallo. Inserisci una funzione e gli estremi qui sotto per calcolarlo numericamente.
Integra
Come funziona il calcolo
Questo strumento usa la regola di Simpson adattiva: approssima la funzione con parabole su piccoli sottointervalli e suddivide ricorsivamente dove la stima non è ancora abbastanza accurata. È la stessa routine di quadratura dietro le regioni ombreggiate degli integrali nella calcolatrice grafica, quindi i numeri concordano.
Poiché il metodo è adattivo, le funzioni lisce convergono rapidamente mentre le regioni difficili — picchi appuntiti, oscillazioni — ricevono automaticamente più suddivisioni. Il risultato è arrotondato a 6 cifre decimali; la stima sottostante è tipicamente accurata ben oltre.
Leggere il risultato
L’area sopra l’asse x conta positiva e quella sotto conta negativa, quindi un integrale può essere zero anche quando la funzione non lo è — per esempio, ∫[−1,1] x³ dx = 0 perché i due lobi si cancellano esattamente. Se vuoi l’area geometrica totale, integra invece il valore assoluto.
Gli integrali accumulano anche quantità: se f(x) è un tasso (litri al minuto, diciamo), l’integrale su un intervallo di tempo è la quantità totale. Prova f(x) = x² da 0 a 1 (risultato: 1/3 ≈ 0.333333) — un classico che ogni studente di analisi incontra.
Domande frequenti
Questa è una valutazione esatta con primitiva?
No — lo strumento integra numericamente con la regola di Simpson adattiva invece di trovare una primitiva simbolica. Per funzioni ben comportate l’approssimazione è accurata a molte cifre decimali.
Perché il mio integrale è zero quando la funzione ha chiaramente area?
L’integrale definito è area con segno: le regioni sotto l’asse x sottraggono da quelle sopra. Funzioni simmetriche come sin(x) su [0, 2π] si integrano a zero esattamente per questo motivo.
Cosa succede se la funzione non è definita da qualche parte nell’intervallo?
Le funzioni con singolarità dentro [a, b] (come 1/x attraverso x = 0) non hanno integrali definiti ordinari lì. Lo strumento segnalerà che l’integrale non ha potuto essere stimato invece di restituire un numero sbagliato.