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Funzione quadratica

f(x) = x^2 - 4

La parabola x² − 4: una curva a U con radici in ±2 e punto più basso in (0, −4).

La funzione quadratica f(x) = x² − 4 è la parabola più semplice con qualcosa di interessante in corso: attraversa l’asse x due volte, scende sotto di esso e gira attorno a un unico punto più basso. Elevare al quadrato rende ogni input non negativo, quindi x² è minimo in x = 0, e sottrarre 4 fa scivolare l’intera forma a U giù di quattro unità. Il risultato è una curva simmetrica con vertice in (0, −4), che si apre verso l’alto per sempre.

Le quadratiche sono i cavalli da lavoro dell’algebra: modellano tutto ciò in cui una quantità dipende dal quadrato di un’altra — l’area di un quadrato, l’altezza di una palla lanciata nel tempo, il profitto di un’azienda con domanda lineare. L’esempio x² − 4 è particolarmente istruttivo perché si fattorizza in modo pulito come (x − 2)(x + 2), quindi le sue intercette x in 2 e −2 si leggono direttamente dall’algebra. Traccialo nella calcolatrice e osserva la simmetria rispetto all’asse y.

Proprietà calcolate

Calcolate dal motore matematico della calcolatrice grafica al momento della build per x^2 - 4 .

Radici in [−10, 10]: -2.0000, 2.0000
Intercetta y f(0): -4.0000
Estremi locali in [−10, 10]: local minimum at (0.0000, -4.0000)
Valori campione: f(-2) = 0 · f(-1) = -3 · f(0) = -4 · f(1) = -3 · f(2) = 0
Derivata f′(1): 2.0000
Integrale ∫₀¹ f(x) dx: -3.6667

Fatti chiave

Forma fattorizzata: x² − 4 = (x − 2)(x + 2); radici (intercette x) in x = 2 e x = −2.
Vertice (minimo globale) in (0, −4); l’asse di simmetria è l’asse y (x = 0).
Dominio: tutti i numeri reali; codominio: y ≥ −4.
Funzione pari: f(−x) = f(x); il grafico si rispecchia rispetto all’asse y.
Intercetta y in (0, −4); la funzione è negativa tra le radici e positiva fuori.
Derivata f′(x) = 2x; la pendenza è zero al vertice e la derivata seconda è la costante 2.

Cos’è questa quadratica

Ogni quadratica ha la forma ax² + bx + c, e il suo grafico è sempre una parabola — la forma a U che ottieni elevando al quadrato. Qui a = 1 (positivo, quindi la U si apre verso l’alto), b = 0 (nessuna inclinazione, quindi il vertice sta sull’asse y) e c = −4 (l’intercetta y). La formula del vertice x = −b/(2a) dà x = 0, e f(0) = −4, a conferma del minimo in (0, −4).

La fattorizzazione rivela le radici: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), una differenza di quadrati, quindi la curva attraversa l’asse x esattamente dove ciascun fattore è zero — in x = 2 e x = −2. Tra le radici la funzione è negativa (l’avvallamento sotto l’asse); fuori è positiva e cresce senza limite. Poiché il termine x² domina per |x| grande, entrambi i bracci della parabola puntano a +∞.

Simmetria, vertice e tasso di variazione

L’asse y è l’asse di simmetria della parabola: f(−x) = f(x), quindi la metà sinistra rispecchia la destra. Il vertice è il punto di svolta della parabola — qui il minimo globale, poiché i bracci salgono per sempre. Qualsiasi quadratica ha esattamente un vertice ed esattamente un valore estremo, ed è per questo che le quadratiche sono il modello ideale per l’ottimizzazione: profitto massimo, costo minimo, punto più alto di una traiettoria.

La derivata f′(x) = 2x racconta il resto della storia: negativa per x < 0 (scendendo nel vertice), zero in x = 0 (il fondo piatto), positiva per x > 0 (risalendo). La pendenza stessa cresce linearmente, una derivata seconda costante di 2 — la firma dell’accelerazione costante, ed è per questo che la distanza sotto gravità è quadratica nel tempo.

Dove compaiono le quadratiche

Lancia una palla e la sua altezza segue una parabola: h(t) = −4.9t² + v₀t + h₀, la stessa forma di x² − 4 ma capovolta e spostata. Aree e volumi producono quadratiche e cubiche naturalmente — raddoppiare il lato di un quadrato ne quadruplica l’area — e la formula quadratica risolve ogni equazione di questo tipo, inclusa questa: x = ±√4 = ±2.

In economia, il profitto in funzione del prezzo è spesso modellato come una parabola che si apre verso il basso (il ricavo sale poi scende mentre il prezzo sale), e il suo vertice dà il prezzo ottimale. In statistica, l’adattamento ai minimi quadrati minimizza una funzione di errore quadratica, e la campana della distribuzione normale è e^(−x²) — una quadratica all’esponente.

Traccia f(x) = x^2 - 4 nella calcolatrice

Domande frequenti

Come si trovano le radici di x² − 4?

Fattorizzala come differenza di quadrati: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Un prodotto è zero quando un fattore è zero, quindi x = 2 o x = −2. Equivalentemente, la formula quadratica dà x = (0 ± √(0 + 16))/2 = ±2.

Qual è il valore minimo di x² − 4?

−4, raggiunto in x = 0. Poiché x² ≥ 0 per ogni x reale, sottrarre 4 dà x² − 4 ≥ −4, con uguaglianza solo quando x² = 0. Il vertice (0, −4) è il punto più basso della parabola, e la funzione cresce senza limite da entrambi i lati.

Perché il grafico è simmetrico?

Perché compaiono solo potenze pari di x: (−x)² − 4 = x² − 4, quindi f(−x) = f(x). Ogni input e il suo opposto danno lo stesso output, il che rispecchia la metà destra del grafico rispetto all’asse y sulla metà sinistra.