Integralrechner
Das bestimmte Integral von f von a bis b misst die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse auf diesem Intervall. Geben Sie unten eine Funktion und Grenzen ein, um es numerisch zu berechnen.
Integrieren
Wie die Berechnung funktioniert
Dieses Tool nutzt die adaptive Simpson-Regel: Es nähert die Funktion mit Parabeln auf kleinen Teilintervallen an und unterteilt rekursiv überall dort weiter, wo die Schätzung noch nicht genau genug ist. Es ist dieselbe Quadraturroutine hinter den schattierten Integralbereichen im Grafikrechner, sodass die Zahlen übereinstimmen.
Weil die Methode adaptiv ist, konvergieren glatte Funktionen schnell, während knifflige Bereiche — scharfe Spitzen, Oszillationen — automatisch mehr Unterteilungen erhalten. Das Ergebnis wird auf 6 Dezimalstellen gerundet; die zugrundeliegende Schätzung ist typischerweise weit darüber hinaus genau.
Das Ergebnis lesen
Fläche oberhalb der x-Achse zählt positiv und Fläche unterhalb negativ, sodass ein Integral auch dann null sein kann, wenn die Funktion es nicht ist — zum Beispiel ∫[−1,1] x³ dx = 0, weil sich die beiden Keulen exakt aufheben. Wenn Sie die gesamte geometrische Fläche wollen, integrieren Sie stattdessen den Betrag.
Integrale akkumulieren auch Größen: Wenn f(x) eine Rate ist (etwa Liter pro Minute), ist das Integral über ein Zeitintervall die Gesamtmenge. Probieren Sie f(x) = x² von 0 bis 1 (Ergebnis: 1/3 ≈ 0,333333) — ein Klassiker, dem jeder Analysis-Student begegnet.
Häufig gestellte Fragen
Ist das eine exakte Stammfunktionsauswertung?
Nein — das Tool integriert numerisch mit der adaptiven Simpson-Regel, statt eine symbolische Stammfunktion zu finden. Für gutartige Funktionen ist die Näherung auf viele Dezimalstellen genau.
Warum ist mein Integral null, obwohl die Funktion eindeutig Fläche hat?
Das bestimmte Integral ist eine orientierte Fläche: Bereiche unterhalb der x-Achse ziehen von Bereichen oberhalb ab. Symmetrische Funktionen wie sin(x) über [0, 2π] integrieren sich aus diesem Grund zu exakt null.
Was, wenn die Funktion irgendwo im Intervall undefiniert ist?
Funktionen mit Singularitäten innerhalb von [a, b] (wie 1/x über x = 0 hinweg) haben dort keine gewöhnlichen bestimmten Integrale. Das Tool meldet, dass das Integral nicht geschätzt werden konnte, statt eine falsche Zahl zurückzugeben.