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Funzione seno
f(x) = sin(x)
L’onda classica della trigonometria: un’oscillazione liscia che si ripete ogni 2π.
La funzione seno è una delle curve più riconoscibili di tutta la matematica: un’onda liscia e ripetuta che oscilla per sempre tra −1 e 1. Definita in origine tramite i triangoli rettangoli — il seno di un angolo è il rapporto tra cateto opposto e ipotenusa — si estende naturalmente a tutti i numeri reali misurando gli angoli in radianti sul cerchio unitario. Sul cerchio unitario, sin(x) è semplicemente la coordinata y del punto raggiunto dopo aver ruotato di x radianti dall’asse x positivo.
Poiché si ripete ogni 2π radianti, il seno è il prototipo di ogni fenomeno periodico: corrente alternata, onde sonore, luce, maree e la vibrazione di una corda di chitarra possono essere tutti descritti con onde sinusoidali di diverse frequenze e ampiezze. Digita sin(x) nella calcolatrice grafica per tracciare l’onda tu stesso, poi spostala, stirala e combinala con altre espressioni per vedere come le oscillazioni del mondo reale sono costruite da questa unica curva.
Proprietà calcolate
Calcolate dal motore matematico della calcolatrice grafica al momento della build per sin(x) .
- Radici in [−10, 10]
- -9.4248, -6.2832, -3.1416, 0.0000, 3.1416, 6.2832, 9.4248
- Intercetta y f(0)
- 0.0000
- Estremi locali in [−10, 10]
-
- local minimum at (-7.8540, -1.0000)
- local maximum at (-4.7124, 1.0000)
- local minimum at (-1.5708, -1.0000)
- local maximum at (1.5708, 1.0000)
- local minimum at (4.7124, -1.0000)
- local maximum at (7.8540, 1.0000)
- Valori campione
- f(-2) = -0.9093 · f(-1) = -0.8415 · f(0) = 0 · f(1) = 0.8415 · f(2) = 0.9093
- Derivata f′(1)
- 0.5403
- Integrale ∫₀¹ f(x) dx
- 0.4597
Fatti chiave
- Dominio: tutti i numeri reali; codominio: −1 ≤ sin(x) ≤ 1.
- Periodo 2π: sin(x + 2π) = sin(x) per ogni x.
- Funzione dispari: sin(−x) = −sin(x); il grafico ha simmetria rotazionale di 180° attorno all’origine.
- Zeri in x = nπ; massimi di 1 in x = π/2 + 2πn; minimi di −1 in x = 3π/2 + 2πn.
- Intercetta y in (0, 0); la derivata è cos(x); una primitiva è −cos(x).
Cos’è il seno
La definizione sul cerchio unitario è ciò che permette al seno di accettare qualsiasi input reale, non solo angoli di un triangolo. Partendo da (1, 0) e muovendosi in senso antiorario sul cerchio di raggio 1, ciascun angolo x atterra su un punto la cui altezza sopra l’asse x è sin(x). Dopo un giro completo di 2π radianti torni al punto di partenza, ed è per questo che il grafico si ripete — la storia della funzione è scritta nella geometria del cerchio.
Quella geometria spiega anche la simmetria dell’onda: il seno è una funzione dispari, cioè sin(−x) = −sin(x), quindi la metà sinistra del grafico è la metà destra ruotata di 180° attorno all’origine. Il grafico attraversa l’asse x in ogni multiplo di π, raggiunge il picco di 1 in π/2 più ogni giro completo, e tocca il fondo a −1 in 3π/2 più ogni giro completo.
Ampiezza, periodo e fase
Tre numeri descrivono qualsiasi onda sinusoidale: ampiezza, periodo e fase. L’ampiezza è l’altezza dell’onda — per il semplice sin(x) è 1, la distanza dalla linea mediana y = 0 a ciascun picco. Moltiplicare per una costante, come in 3*sin(x), stira l’onda verticalmente senza cambiarne la forma, ed è così che si modellano suoni più forti e segnali più intensi.
Il periodo è la lunghezza orizzontale di un ciclo completo: 2π per sin(x). Scrivere sin(2*x) comprime due onde intere nello stesso spazio, dimezzando il periodo a π e raddoppiando la frequenza — l’altezza di una nota un’ottava sopra. Aggiungere uno sfasamento, sin(x − π/2), fa scivolare l’intera onda di lato, ed è per questo che il coseno è segretamente un seno spostato: cos(x) = sin(x + π/2).
Dove compare il seno
Le onde sinusoidali sono i mattoni dell’elaborazione dei segnali. Qualsiasi segnale ripetuto — un tono musicale, una trasmissione radio, il ronzio a 50 o 60 Hz della rete elettrica — può essere scomposto in una somma di onde sinusoidali di diverse frequenze, un fatto noto come analisi di Fourier. Quando due onde sinusoidali di frequenza quasi uguale si sovrappongono, interferiscono producendo battimenti, l’effetto pulsante che senti quando due strumenti leggermente scordati suonano insieme.
Oltre ai segnali, il seno governa il moto armonico semplice: l’andirivieni di una massa su una molla, l’oscillazione di un piccolo pendolo e il su e giù di una boa galleggiante seguono tutti curve sinusoidali nel tempo. In geometria e fisica, il seno proietta una quantità rotante su un asse — la posizione verticale di una cabina di ruota panoramica nel tempo traccia esattamente sin(x).
Domande frequenti
Perché il grafico del seno è un’onda?
Perché il seno misura l’altezza sul cerchio unitario mentre ruoti. Girare intorno al cerchio fa salire e scendere l’altezza in modo liscio e ripetuto a ogni giro completo, quindi il grafico dell’altezza in funzione dell’angolo è un’onda. L’onda è liscia perché la rotazione è continua — niente spigoli né salti.
Qual è la differenza tra seno e coseno?
Sono la stessa onda spostata di lato: cos(x) = sin(x + π/2). Sul cerchio unitario, il coseno è la coordinata x mentre il seno è la coordinata y. Il coseno parte dal suo massimo, cos(0) = 1, mentre il seno parte da zero, sin(0) = 0.
Sin(x) supera mai 1?
No — per x reale, |sin(x)| ≤ 1 sempre. Sul cerchio unitario, la coordinata y non può mai superare in modulo il raggio, che è 1. (Il seno di numeri complessi può superare 1 in modulo, ma il grafico a valori reali della calcolatrice resta entro [−1, 1].)