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Funzione logaritmo naturale
f(x) = log(x)
L’inversa di eˣ — srotola la crescita esponenziale, trasformando la moltiplicazione in addizione.
Il logaritmo naturale, scritto ln(x) o log(x), risponde alla domanda “e a quale potenza dà x?” È l’esatta inversa della funzione esponenziale: ln(eˣ) = x ed e^(ln x) = x, quindi il suo grafico è l’immagine speculare di y = eˣ riflessa sulla retta y = x. Dove l’esponenziale schizza verso l’alto, il logaritmo sale con esasperante lentezza — ln(10) ≈ 2.303, ln(100) ≈ 4.605, ln(1,000,000) ≈ 13.816 — ogni aumento di dieci volte di x aggiunge solo circa 2.303 all’output.
Quella lenta crescita è precisamente il punto: i logaritmi comprimono intervalli enormi in intervalli gestibili, ed è per questo che la scala Richter, i decibel e il pH sono tutti logaritmici. Il grafico passa per (1, 0), sale per x > 1, precipita a −∞ mentre x si avvicina a 0 da destra (l’asintoto verticale in x = 0), ed è indefinito per x ≤ 0 — non puoi elevare e a nessuna potenza reale e ottenere zero o un numero negativo. Digita log(x) nella calcolatrice accanto a e^x per vedere la simmetria speculare.
Proprietà calcolate
Calcolate dal motore matematico della calcolatrice grafica al momento della build per log(x) .
- Radici in [−10, 10]
- 1.0000
- Intercetta y f(0)
- undefined
- Estremi locali in [−10, 10]
- nessuna trovata
- Valori campione
- f(-2) = non definito · f(-1) = non definito · f(0) = non definito · f(1) = 0 · f(2) = 0.6931
- Derivata f′(1)
- 1.0000
- Integrale ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Fatti chiave
- Dominio: x > 0; codominio: tutti i numeri reali. Indefinito per x ≤ 0.
- Inversa di eˣ: ln(eˣ) = x ed e^(ln x) = x; i grafici si rispecchiano su y = x.
- Intercetta x in (1, 0); asintoto verticale x = 0 con ln(x) → −∞ mentre x → 0⁺.
- Leggi dei logaritmi: ln(ab) = ln a + ln b; ln(a/b) = ln a − ln b; ln(a^b) = b·ln a.
- Derivata d/dx ln(x) = 1/x; ln è la primitiva di 1/x.
- Crescente e concava verso il basso su tutto il dominio; nessun massimo, minimo o punto di flesso.
Cos’è il logaritmo naturale
I logaritmi furono inventati per trasformare la moltiplicazione in addizione: ln(ab) = ln(a) + ln(b). Prima delle calcolatrici elettroniche, gli scienziati moltiplicavano grandi numeri cercando i loro logaritmi, sommandoli e riconvertendo — il regolo calcolatore è un’incarnazione fisica di questa idea. Il “naturale” nel nome si riferisce alla base e, la base che rende pulita l’analisi: d/dx ln(x) = 1/x, la derivata più semplice possibile per un’inversa esponenziale.
Le tre leggi dei logaritmi seguono dalle leggi degli esponenti della sua inversa: ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b e ln(a^b) = b·ln a. Insieme permettono di smontare complicate espressioni moltiplicative in somme — il motivo per cui i logaritmi compaiono nelle formule di entropia, nei calcoli di verosimiglianza e ovunque i prodotti diventino ingestibili.
Dominio, asintoto e forma
Il dominio è solo x > 0, conseguenza diretta di eˣ > 0: non esiste una potenza reale di e che dia zero o un numero negativo, quindi il logaritmo non può accettarli. Mentre x → 0⁺, ln(x) → −∞, dando l’asintoto verticale x = 0 (l’asse y) — lo specchio dell’asintoto orizzontale dell’esponenziale. L’intercetta x è in (1, 0) poiché e^0 = 1, lo specchio dell’intercetta y di eˣ in (0, 1).
La curva è crescente ovunque (derivata 1/x > 0 per x > 0) ma concava verso il basso ovunque (derivata seconda −1/x² < 0): sale rapidamente appena a destra dello zero, poi si appiattisce inesorabilmente. Non ha massimo né punto di flesso, ed è la primitiva di 1/x — l’integrale che nessuna regola delle potenze può gestire, poiché ∫xⁿ dx fallisce in n = −1.
Dove compaiono i logaritmi
Le scale logaritmiche misurano fenomeni che abbracciano molti ordini di grandezza: ogni punto Richter è circa 32× l’energia, ogni unità di pH è 10× l’acidità, e i decibel comprimono intensità sonore da un sussurro a un motore a reazione in un intervallo 0–140. In teoria dell’informazione, l’entropia si misura in nat (log naturale) o bit (log base 2), quantificando sorpresa e lunghezze ottimali dei codici.
In informatica, gli algoritmi O(log n) — la ricerca binaria è il classico — dimezzano il problema a ogni passo, quindi raddoppiare l’input aggiunge solo un passo in più; quella è la crescita logaritmica in azione. In statistica, prendere i log raddrizza dati esponenziali in rette, e la distribuzione log-normale modella quantità come redditi e dimensioni di particelle che si moltiplicano invece di sommarsi.
Domande frequenti
Perché ln(x) è indefinito per x negativi?
Perché ln(x) chiede “e a quale potenza uguaglia x?”, ed e elevato a qualsiasi potenza reale è sempre positivo. Nessun esponente reale produce zero o un numero negativo, quindi il logaritmo non ha valore reale lì. (Esistono logaritmi complessi ma sono multivalore e oltre questo grafico a valori reali.)
Qual è la differenza tra ln(x) e log₁₀(x)?
Solo la base: ln usa e ≈ 2.718, log₁₀ usa 10. Sono proporzionali — ln(x) = ln(10)·log₁₀(x) ≈ 2.303·log₁₀(x) — quindi i loro grafici hanno forme identiche, solo scale verticali diverse. I logaritmi naturali danno l’analisi più pulita (derivata 1/x); i logaritmi in base 10 si adattano alle misure in scala decimale.
Perché il grafico si appiattisce così tanto?
Perché disfare la crescita esponenziale è intrinsecamente lento: per aumentare ln(x) di 1 devi moltiplicare x per e ≈ 2.718. La derivata 1/x si restringe mentre x cresce, quindi ogni ulteriore unità di altezza richiede un multiplo sempre più grande di x. Quell’appiattimento è esattamente ciò che rende i logaritmi ideali per comprimere intervalli enormi.