Bibliothèque de fonctions
Fonction logarithme naturel
f(x) = log(x)
L’inverse de eˣ — il déplie la croissance exponentielle, transformant la multiplication en addition.
Le logarithme naturel, noté ln(x) ou log(x), répond à la question « e à quelle puissance donne x ? » C’est l’inverse exact de la fonction exponentielle : ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x, donc son graphe est l’image miroir de y = eˣ réfléchi par rapport à la droite y = x. Là où l’exponentielle fuse vers le haut, le logarithme grimpe avec une lenteur affligeante — ln(10) ≈ 2,303, ln(100) ≈ 4,605, ln(1 000 000) ≈ 13,816 — chaque multiplication de x par dix n’ajoute qu’environ 2,303 à la sortie.
Cette lenteur est précisément l’intérêt : les logarithmes compriment des plages énormes en plages gérables, voilà pourquoi l’échelle de Richter, les décibels et le pH sont tous logarithmiques. Le graphe passe par (1, 0), monte pour x > 1, plonge vers −∞ quand x approche 0 par la droite (l’asymptote verticale en x = 0), et est non défini pour x ≤ 0 — on ne peut élever e à aucune puissance réelle pour obtenir zéro ou un nombre négatif. Tapez log(x) dans la calculatrice à côté de e^x pour voir la symétrie miroir.
Propriétés calculées
Calculé par le moteur mathématique propre à la calculatrice graphique au moment de la compilation pour log(x) .
- Racines dans [−10, 10]
- 1.0000
- Intersection avec l’axe y f(0)
- undefined
- Extrémums locaux dans [−10, 10]
- aucune trouvée
- Valeurs échantillons
- f(-2) = non défini · f(-1) = non défini · f(0) = non défini · f(1) = 0 · f(2) = 0.6931
- Dérivée f′(1)
- 1.0000
- Intégrale ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Faits essentiels
- Domaine : x > 0 ; ensemble d’arrivée : tous les réels. Non défini en x ≤ 0.
- Inverse de eˣ : ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x ; les graphes se reflètent par rapport à y = x.
- Intersection avec l’axe x en (1, 0) ; asymptote verticale x = 0 avec ln(x) → −∞ quand x → 0⁺.
- Lois des logs : ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(a^b) = b·ln a.
- Dérivée d/dx ln(x) = 1/x ; ln est la primitive de 1/x.
- Croissante et concave vers le bas sur tout son domaine ; ni maxima, ni minima, ni points d’inflexion.
Ce qu’est le logarithme naturel
Les logarithmes ont été inventés pour transformer la multiplication en addition : ln(ab) = ln(a) + ln(b). Avant les calculatrices électroniques, les scientifiques multipliaient de grands nombres en cherchant leurs logarithmes, en les additionnant, puis en reconvertissant — la règle à calcul est l’incarnation physique de cette idée. Le « naturel » du nom renvoie à la base e, la base qui rend le calcul différentiel propre : d/dx ln(x) = 1/x, la dérivée la plus simple possible pour un inverse d’exponentielle.
Les trois lois des logarithmes découlent des lois des exposants de son inverse : ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, et ln(a^b) = b·ln a. Ensemble, elles permettent de démonter des expressions multiplicatives compliquées en sommes — la raison pour laquelle les logarithmes apparaissent dans les formules d’entropie, les calculs de vraisemblance, et partout où les produits deviennent encombrants.
Domaine, asymptote et forme
Le domaine est x > 0 uniquement, conséquence directe de eˣ > 0 : il n’existe aucune puissance réelle de e qui donne zéro ou un nombre négatif, donc le logarithme ne peut pas les accepter. Quand x → 0⁺, ln(x) → −∞, donnant l’asymptote verticale x = 0 (l’axe des y) — le miroir de l’asymptote horizontale de l’exponentielle. L’intersection avec l’axe x est en (1, 0) puisque e^0 = 1, le miroir de l’ordonnée à l’origine de eˣ en (0, 1).
La courbe est croissante partout (dérivée 1/x > 0 pour x > 0) mais concave vers le bas partout (dérivée seconde −1/x² < 0) : elle monte vite juste à droite de zéro, puis s’aplatit inexorablement. Elle n’a pas de maximum ni de point d’inflexion, et c’est la primitive de 1/x — l’intégrale qu’aucune règle des puissances ne peut traiter, puisque ∫xⁿ dx échoue en n = −1.
Où apparaissent les logarithmes
Les échelles logarithmiques mesurent des phénomènes couvrant de nombreux ordres de grandeur : chaque point Richter représente environ 32× l’énergie, chaque unité de pH 10× l’acidité, et les décibels compriment les intensités sonores d’un murmure à un réacteur dans une plage de 0 à 140. En théorie de l’information, l’entropie se mesure en nats (logarithme naturel) ou en bits (logarithme base 2), quantifiant la surprise et les longueurs de code optimales.
En informatique, les algorithmes en O(log n) — la recherche dichotomique étant le classique — divisent le problème par deux à chaque étape : doubler l’entrée n’ajoute donc qu’une étape de plus ; c’est la croissance logarithmique en action. En statistique, prendre les logarithmes redresse les données exponentielles en droites, et la loi log-normale modélise les quantités comme les revenus et les tailles de particules qui se multiplient plutôt qu’elles ne s’additionnent.
Questions fréquentes
Pourquoi ln(x) est-il non défini pour les x négatifs ?
Parce que ln(x) demande « e à quelle puissance égale x ? », et e élevé à n’importe quelle puissance réelle est toujours positif. Aucun exposant réel ne produit zéro ni un nombre négatif : le logarithme n’y a donc aucune valeur réelle. (Des logarithmes complexes existent mais sont multivalués et dépassent ce graphe réel.)
Quelle est la différence entre ln(x) et log₁₀(x) ?
Seule la base : ln utilise e ≈ 2,718, log₁₀ utilise 10. Ils sont proportionnels — ln(x) = ln(10)·log₁₀(x) ≈ 2,303·log₁₀(x) — donc leurs graphes ont des formes identiques, juste des échelles verticales différentes. Les logarithmes naturels donnent le calcul différentiel le plus propre (dérivée 1/x) ; les logarithmes base 10 conviennent aux mesures en échelle décimale.
Pourquoi le graphe s’aplatit-il autant ?
Parce que défaire la croissance exponentielle est intrinsèquement lent : pour augmenter ln(x) de 1, il faut multiplier x par e ≈ 2,718. La dérivée 1/x diminue quand x grandit : chaque unité de hauteur supplémentaire exige donc un multiple toujours plus grand de x. Cet aplatissement est exactement ce qui rend les logarithmes idéaux pour comprimer d’immenses plages.