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Natürliche Logarithmusfunktion
f(x) = log(x)
Die Umkehrung von eˣ — sie wickelt exponentielles Wachstum auf und verwandelt Multiplikation in Addition.
Der natürliche Logarithmus, geschrieben ln(x) oder log(x), beantwortet die Frage „e hoch was ergibt x?“ Er ist die exakte Umkehrung der Exponentialfunktion: ln(eˣ) = x und e^(ln x) = x, sodass sein Graph das Spiegelbild von y = eˣ an der Geraden y = x ist. Wo die Exponentialfunktion nach oben schießt, klettert der Logarithmus quälend langsam — ln(10) ≈ 2,303, ln(100) ≈ 4,605, ln(1.000.000) ≈ 13,816 — jede Verzehnfachung von x fügt der Ausgabe nur etwa 2,303 hinzu.
Dieses langsame Wachstum ist genau der Punkt: Logarithmen komprimieren enorme Bereiche in handhabbare, darum sind die Richter-Skala, Dezibel und pH alle logarithmisch. Der Graph passiert (1, 0), steigt für x > 1, taucht gegen −∞ ab, wenn x sich 0 von rechts nähert (die senkrechte Asymptote bei x = 0), und ist für x ≤ 0 undefiniert — man kann e auf keine reelle Potenz erheben und null oder eine negative Zahl erhalten. Geben Sie log(x) in den Rechner ein, neben e^x, um die Spiegelsymmetrie zu sehen.
Berechnete Eigenschaften
Zur Build-Zeit von der eigenen Rechen-Engine des Grafikrechners berechnet für log(x) .
- Nullstellen in [−10, 10]
- 1.0000
- y-Achsenabschnitt f(0)
- undefined
- Lokale Extremstellen in [−10, 10]
- keine gefunden
- Stichprobenwerte
- f(-2) = undefiniert · f(-1) = undefiniert · f(0) = undefiniert · f(1) = 0 · f(2) = 0.6931
- Ableitung f′(1)
- 1.0000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Wichtige Fakten
- Definitionsbereich: x > 0; Wertebereich: alle reellen Zahlen. Undefiniert bei x ≤ 0.
- Umkehrung von eˣ: ln(eˣ) = x und e^(ln x) = x; Graphen spiegeln sich an y = x.
- x-Achsenabschnitt bei (1, 0); senkrechte Asymptote x = 0 mit ln(x) → −∞ für x → 0⁺.
- Logarithmengesetze: ln(ab) = ln a + ln b; ln(a/b) = ln a − ln b; ln(a^b) = b·ln a.
- Ableitung d/dx ln(x) = 1/x; ln ist die Stammfunktion von 1/x.
- Steigend und rechtsgekrümmt auf seinem ganzen Definitionsbereich; keine Maxima, Minima oder Wendepunkte.
Was der natürliche Logarithmus ist
Logarithmen wurden erfunden, um Multiplikation in Addition zu verwandeln: ln(ab) = ln(a) + ln(b). Vor elektronischen Rechnern multiplizierten Wissenschaftler große Zahlen, indem sie ihre Logarithmen nachschlugen, addierten und zurückverwandelten — der Rechenschieber ist eine physische Verkörperung dieser Idee. Das „natürlich“ im Namen bezieht sich auf die Basis e, die Basis, die die Analysis sauber macht: d/dx ln(x) = 1/x, die einfachstmögliche Ableitung für eine Umkehr-Exponentialfunktion.
Die drei Logarithmengesetze folgen aus den Potenzgesetzen seiner Umkehrung: ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b und ln(a^b) = b·ln a. Zusammen lassen sie komplizierte multiplikative Ausdrücke in Summen zerlegen — der Grund, warum Logarithmen in Entropieformeln, Likelihood-Berechnungen und überall auftauchen, wo Produkte unhandlich werden.
Definitionsbereich, Asymptote und Form
Der Definitionsbereich ist nur x > 0, eine direkte Folge von eˣ > 0: Es gibt keine reelle Potenz von e, die null oder eine negative Zahl ergibt, sodass der Logarithmus sie nicht akzeptieren kann. Für x → 0⁺ gilt ln(x) → −∞, was die senkrechte Asymptote x = 0 (die y-Achse) ergibt — das Spiegelbild der waagrechten Asymptote der Exponentialfunktion. Der x-Achsenabschnitt liegt bei (1, 0), da e^0 = 1, das Spiegelbild des y-Achsenabschnitts von eˣ bei (0, 1).
Die Kurve steigt überall (Ableitung 1/x > 0 für x > 0), ist aber überall rechtsgekrümmt (zweite Ableitung −1/x² < 0): Sie steigt direkt rechts von null schnell an und flacht dann unerbittlich ab. Sie hat kein Maximum und keinen Wendepunkt und ist die Stammfunktion von 1/x — das Integral, das keine Potenzregel bewältigen kann, da ∫xⁿ dx bei n = −1 versagt.
Wo Logarithmen vorkommen
Logarithmische Skalen messen Phänomene, die viele Größenordnungen umspannen: Jeder Richter-Punkt ist etwa 32× die Energie, jede pH-Einheit 10× die Säure, und Dezibel komprimieren Schallintensitäten vom Flüstern bis zum Düsenjet in einen Bereich von 0–140. In der Informationstheorie wird Entropie in Nats (natürlicher Logarithmus) oder Bits (Logarithmus zur Basis 2) gemessen und quantifiziert Überraschung und optimale Codelängen.
In der Informatik halbieren O(log n)-Algorithmen — die binäre Suche ist der Klassiker — jeden Schritt das Problem, sodass das Verdoppeln der Eingabe nur einen weiteren Schritt hinzufügt; das ist logarithmisches Wachstum in Aktion. In der Statistik begradigt das Logarithmieren exponentielle Daten zu Geraden, und die Log-Normalverteilung modelliert Größen wie Einkommen und Partikelgrößen, die sich multiplizieren statt addieren.
Häufig gestellte Fragen
Warum ist ln(x) für negative x undefiniert?
Weil ln(x) fragt „e hoch was ergibt x?“, und e hoch eine reelle Potenz immer positiv ist. Kein reeller Exponent erzeugt null oder eine negative Zahl, sodass der Logarithmus dort keinen reellen Wert hat. (Komplexe Logarithmen existieren, sind aber mehrdeutig und jenseits dieses reellwertigen Graphen.)
Was ist der Unterschied zwischen ln(x) und log₁₀(x)?
Nur die Basis: ln nutzt e ≈ 2,718, log₁₀ nutzt 10. Sie sind proportional — ln(x) = ln(10)·log₁₀(x) ≈ 2,303·log₁₀(x) — sodass ihre Graphen identische Formen haben, nur unterschiedliche vertikale Skalen. Natürliche Logarithmen geben die sauberste Analysis (Ableitung 1/x); dekadische Logarithmen passen zu dezimalen Messskalen.
Warum flacht der Graph so stark ab?
Weil das Aufwickeln exponentiellen Wachstums von Natur aus langsam ist: Um ln(x) um 1 zu erhöhen, muss man x mit e ≈ 2,718 multiplizieren. Die Ableitung 1/x schrumpft mit wachsendem x, sodass jede zusätzliche Höheneinheit ein immer größeres Vielfaches von x erfordert. Diese Abflachung macht Logarithmen ideal zum Komprimieren riesiger Bereiche.