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Função Logaritmo Natural
f(x) = log(x)
A inversa de eˣ — ela desfaz o crescimento exponencial, transformando multiplicação em adição.
O logaritmo natural, escrito ln(x) ou log(x), responde à pergunta “e elevado a qual potência dá x?” É a inversa exata da função exponencial: ln(eˣ) = x e e^(ln x) = x, de modo que seu gráfico é a imagem espelhada de y = eˣ refletida na reta y = x. Onde a exponencial dispara para cima, o logaritmo sobe com uma lentidão agonizante — ln(10) ≈ 2,303, ln(100) ≈ 4,605, ln(1.000.000) ≈ 13,816 — cada aumento de dez vezes em x adiciona apenas cerca de 2,303 à saída.
Essa lentidão de crescimento é justamente o ponto: os logaritmos comprimem faixas enormes em faixas gerenciáveis, e é por isso que a escala Richter, os decibéis e o pH são todos logarítmicos. O gráfico passa por (1, 0), sobe para x > 1, mergulha para −∞ à medida que x se aproxima de 0 pela direita (a assíntota vertical em x = 0) e é indefinido para x ≤ 0 — você não pode elevar e a nenhuma potência real e obter zero ou um número negativo. Digite log(x) na calculadora ao lado de e^x para ver a simetria espelhada.
Propriedades calculadas
Calculado pelo próprio motor matemático da calculadora gráfica em tempo de construção para log(x) .
- Raízes em [−10, 10]
- 1.0000
- Interseção com o eixo y f(0)
- undefined
- Extremos locais em [−10, 10]
- nenhuma encontrada
- Valores de amostra
- f(-2) = indefinido · f(-1) = indefinido · f(0) = indefinido · f(1) = 0 · f(2) = 0.6931
- Derivada f′(1)
- 1.0000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Fatos principais
- Domínio: x > 0; imagem: todos os números reais. Indefinido para x ≤ 0.
- Inversa de eˣ: ln(eˣ) = x e e^(ln x) = x; os gráficos se espelham na reta y = x.
- Interseção com o eixo x em (1, 0); assíntota vertical x = 0 com ln(x) → −∞ quando x → 0⁺.
- Leis dos logaritmos: ln(ab) = ln a + ln b; ln(a/b) = ln a − ln b; ln(a^b) = b·ln a.
- Derivada d/dx ln(x) = 1/x; ln é a primitiva de 1/x.
- Crescente e côncava para baixo em todo o domínio; sem máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
O que é o logaritmo natural
Os logaritmos foram inventados para transformar multiplicação em adição: ln(ab) = ln(a) + ln(b). Antes das calculadoras eletrônicas, os cientistas multiplicavam números grandes consultando seus logaritmos, somando e convertendo de volta — a régua de cálculo é a personificação física dessa ideia. O “natural” no nome refere-se à base e, a base que torna o cálculo limpo: d/dx ln(x) = 1/x, a derivada mais simples possível para uma exponencial inversa.
As três leis dos logaritmos decorrem das leis dos expoentes de sua inversa: ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b e ln(a^b) = b·ln a. Juntas, elas permitem desmontar expressões multiplicativas complicadas em somas — a razão pela qual os logaritmos aparecem em fórmulas de entropia, cálculos de verossimilhança e onde quer que produtos se tornem difíceis de manejar.
Domínio, assíntota e forma
O domínio é apenas x > 0, consequência direta de eˣ > 0: não existe potência real de e que produza zero ou um número negativo, de modo que o logaritmo não pode aceitá-los. Quando x → 0⁺, ln(x) → −∞, dando a assíntota vertical x = 0 (o eixo y) — o espelho da assíntota horizontal da exponencial. A interseção com o eixo x está em (1, 0), já que e^0 = 1, o espelho da interseção de eˣ com o eixo y em (0, 1).
A curva é crescente em todos os lugares (derivada 1/x > 0 para x > 0), mas côncava para baixo em todos os lugares (segunda derivada −1/x² < 0): sobe rápido logo à direita do zero e depois se achata implacavelmente. Não tem máximo nem ponto de inflexão, e é a primitiva de 1/x — a integral que nenhuma regra de potência consegue resolver, já que ∫xⁿ dx falha em n = −1.
Onde os logaritmos aparecem
Escalas logarítmicas medem fenômenos que abrangem muitas ordens de grandeza: cada ponto Richter representa cerca de 32× a energia, cada unidade de pH é 10× a acidez, e os decibéis comprimem intensidades sonoras de um sussurro a um motor a jato em uma faixa de 0–140. Na teoria da informação, a entropia é medida em nats (log natural) ou bits (log base 2), quantificando surpresa e comprimentos ótimos de código.
Na ciência da computação, algoritmos O(log n) — a busca binária sendo o clássico — reduzem o problema à metade a cada passo, de modo que dobrar a entrada adiciona apenas mais um passo; isso é crescimento logarítmico em ação. Na estatística, tirar logaritmos endireita dados exponenciais em retas, e a distribuição log-normal modela quantidades como rendas e tamanhos de partículas que se multiplicam em vez de se somar.
Perguntas frequentes
Por que ln(x) é indefinido para x negativo?
Porque ln(x) pergunta “e elevado a qual potência é igual a x?”, e e elevado a qualquer potência real é sempre positivo. Nenhum expoente real produz zero ou um número negativo, de modo que o logaritmo não tem valor real ali. (Logaritmos complexos existem, mas são multivalorados e estão além deste gráfico real.)
Qual é a diferença entre ln(x) e log₁₀(x)?
Apenas a base: ln usa e ≈ 2,718, log₁₀ usa 10. Elas são proporcionais — ln(x) = ln(10)·log₁₀(x) ≈ 2,303·log₁₀(x) — de modo que seus gráficos têm formas idênticas, apenas escalas verticais diferentes. Os logaritmos naturais dão o cálculo mais limpo (derivada 1/x); os logaritmos de base 10 servem a medições em escala decimal.
Por que o gráfico se achata tanto?
Porque desfazer o crescimento exponencial é inerentemente lento: para aumentar ln(x) em 1, você precisa multiplicar x por e ≈ 2,718. A derivada 1/x encolhe à medida que x cresce, de modo que cada unidade adicional de altura exige um múltiplo cada vez maior de x. Esse achatamento é exatamente o que torna os logaritmos ideais para comprimir faixas enormes.