Biblioteca de funciones
Función logaritmo natural
f(x) = log(x)
La inversa de eˣ: desenvuelve el crecimiento exponencial, convirtiendo la multiplicación en suma.
El logaritmo natural, escrito ln(x) o log(x), responde la pregunta «¿e elevado a qué potencia da x?». Es la inversa exacta de la función exponencial: ln(eˣ) = x y e^(ln x) = x, así que su gráfica es la imagen especular de y = eˣ reflejada en la recta y = x. Donde la exponencial se dispara hacia arriba, el logaritmo trepa con una lentitud agónica —ln(10) ≈ 2.303, ln(100) ≈ 4.605, ln(1 000 000) ≈ 13.816—: cada aumento de diez veces en x añade solo unos 2.303 a la salida.
Ese crecimiento lento es precisamente la clave: los logaritmos comprimen rangos enormes en rangos manejables, y por eso la escala de Richter, los decibelios y el pH son todos logarítmicos. La gráfica pasa por (1, 0), sube para x > 1, se hunde a −∞ cuando x se acerca a 0 por la derecha (la asíntota vertical en x = 0) y no está definida para x ≤ 0: no puedes elevar e a ninguna potencia real y obtener cero o un número negativo. Escribe log(x) en la calculadora junto a e^x para ver la simetría especular.
Propiedades calculadas
Calculado por el propio motor matemático de la calculadora gráfica al generar esta página para log(x) .
- Raíces en [−10, 10]
- 1.0000
- Intersección con el eje y f(0)
- undefined
- Extremos locales en [−10, 10]
- ninguna
- Valores de muestra
- f(-2) = indefinido · f(-1) = indefinido · f(0) = indefinido · f(1) = 0 · f(2) = 0.6931
- Derivada f′(1)
- 1.0000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Datos clave
- Dominio: x > 0; rango: todos los números reales. Indefinido en x ≤ 0.
- Inversa de eˣ: ln(eˣ) = x y e^(ln x) = x; las gráficas se reflejan en y = x.
- Intersección con el eje x en (1, 0); asíntota vertical x = 0 con ln(x) → −∞ cuando x → 0⁺.
- Leyes de los logaritmos: ln(ab) = ln a + ln b; ln(a/b) = ln a − ln b; ln(a^b) = b·ln a.
- Derivada d/dx ln(x) = 1/x; ln es la antiderivada de 1/x.
- Creciente y cóncava hacia abajo en todo su dominio; sin máximos, mínimos ni puntos de inflexión.
Qué es el logaritmo natural
Los logaritmos se inventaron para convertir la multiplicación en suma: ln(ab) = ln(a) + ln(b). Antes de las calculadoras electrónicas, los científicos multiplicaban números grandes buscando sus logaritmos, sumando y convirtiendo de vuelta: la regla de cálculo es la encarnación física de esta idea. Lo «natural» del nombre se refiere a la base e, la base que hace limpio el cálculo: d/dx ln(x) = 1/x, la derivada más simple posible para una exponencial inversa.
Las tres leyes de los logaritmos se deducen de las leyes de exponentes de su inversa: ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b y ln(a^b) = b·ln a. Juntas permiten desmontar expresiones multiplicativas complicadas en sumas, la razón por la que los logaritmos aparecen en fórmulas de entropía, cálculos de verosimilitud y dondequiera que los productos se vuelvan inmanejables.
Dominio, asíntota y forma
El dominio es solo x > 0, consecuencia directa de eˣ > 0: no hay potencia real de e que dé cero o un número negativo, así que el logaritmo no puede aceptarlos. Cuando x → 0⁺, ln(x) → −∞, dando la asíntota vertical x = 0 (el eje y), el espejo de la asíntota horizontal de la exponencial. La intersección con el eje x está en (1, 0) ya que e^0 = 1, el espejo de la intersección con el eje y de eˣ en (0, 1).
La curva es creciente en todas partes (derivada 1/x > 0 para x > 0) pero cóncava hacia abajo en todas partes (segunda derivada −1/x² < 0): sube rápido justo a la derecha del cero y luego se aplana sin piedad. No tiene máximo ni punto de inflexión, y es la antiderivada de 1/x: la integral que ninguna regla de potencias puede resolver, ya que ∫xⁿ dx falla en n = −1.
Dónde aparecen los logaritmos
Las escalas logarítmicas miden fenómenos que abarcan muchos órdenes de magnitud: cada punto Richter es unas 32 veces la energía, cada unidad de pH es 10 veces la acidez, y los decibelios comprimen intensidades sonoras desde un susurro hasta un motor de avión en un rango de 0 a 140. En teoría de la información, la entropía se mide en nats (logaritmo natural) o bits (logaritmo en base 2), cuantificando la sorpresa y las longitudes óptimas de código.
En informática, los algoritmos O(log n) —la búsqueda binaria es el clásico— reducen el problema a la mitad en cada paso, así que duplicar la entrada añade solo un paso más; eso es el crecimiento logarítmico en acción. En estadística, tomar logaritmos endereza los datos exponenciales en rectas, y la distribución log-normal modela cantidades como ingresos y tamaños de partícula que se multiplican en lugar de sumarse.
Preguntas frecuentes
¿Por qué ln(x) no está definido para x negativa?
Porque ln(x) pregunta «¿e elevado a qué potencia es igual a x?», y e elevado a cualquier potencia real siempre es positivo. Ningún exponente real produce cero ni un número negativo, así que el logaritmo no tiene valor real allí. (Existen logaritmos complejos, pero son multivaluados y están más allá de esta gráfica real.)
¿Cuál es la diferencia entre ln(x) y log₁₀(x)?
Solo la base: ln usa e ≈ 2.718, log₁₀ usa 10. Son proporcionales —ln(x) = ln(10)·log₁₀(x) ≈ 2.303·log₁₀(x)—, así que sus gráficas tienen formas idénticas, solo distintas escalas verticales. Los logaritmos naturales dan el cálculo más limpio (derivada 1/x); los de base 10 sirven para mediciones en escala decimal.
¿Por qué la gráfica se aplana tanto?
Porque deshacer el crecimiento exponencial es inherentemente lento: para aumentar ln(x) en 1 hay que multiplicar x por e ≈ 2.718. La derivada 1/x se encoge al crecer x, así que cada unidad adicional de altura requiere un múltiplo de x cada vez mayor. Ese aplanamiento es exactamente lo que hace a los logaritmos ideales para comprimir rangos enormes.