Biblioteca de funciones
Función exponencial
f(x) = e^x
La función que es su propia derivada: crecimiento relativo constante, siempre creciente, sin tocar nunca el cero.
La función exponencial f(x) = eˣ es la encarnación matemática del crecimiento proporcional al tamaño: dinero que genera interés compuesto, bacterias que se duplican en una placa o un rumor que se propaga entre la gente. Su propiedad definitoria es que su razón de cambio iguala su valor actual —d/dx eˣ = eˣ—, y por eso aparece siempre que la tasa de crecimiento de una cantidad es proporcional a la propia cantidad. La base e ≈ 2.71828 es el único número que hace que esto funcione.
La gráfica cuenta la historia de un vistazo: pasa por (0, 1), se arrastra casi plana junto al eje x para x muy negativa (acercándose a 0 sin llegar nunca) y luego se curva hacia arriba y trepa cada vez más empinada para x positiva. En x = 1 vale e ≈ 2.718, en x = 2 es e² ≈ 7.389, y cada paso unitario multiplica el valor por otro factor de e. Escribe e^x en la calculadora y compárala con 2^x para ver cómo la base controla la inclinación.
Propiedades calculadas
Calculado por el propio motor matemático de la calculadora gráfica al generar esta página para e^x .
- Raíces en [−10, 10]
- ninguna
- Intersección con el eje y f(0)
- 1.0000
- Extremos locales en [−10, 10]
- ninguna
- Valores de muestra
- f(-2) = 0.1353 · f(-1) = 0.3679 · f(0) = 1 · f(1) = 2.7183 · f(2) = 7.3891
- Derivada f′(1)
- 2.7183
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 1.7183
Datos clave
- Dominio: todos los números reales; rango: y > 0 — eˣ nunca es cero ni negativa.
- Intersección con el eje y en (0, 1); asíntota horizontal y = 0 cuando x → −∞.
- Estrictamente creciente y convexa en todas partes; sin máximos, mínimos ni puntos de inflexión.
- Su propia derivada: d/dx eˣ = eˣ; una antiderivada es la propia eˣ.
- Leyes de exponentes: e^(a+b) = e^a·e^b, e^(−x) = 1/eˣ, (eˣ)^n = e^(nx).
- e ≈ 2.71828; eˣ supera a todo polinomio cuando x → ∞.
Qué es la función exponencial
La multiplicación repetida es el corazón de eˣ: e³ significa e·e·e, y las leyes de los exponentes e^(a+b) = e^a·e^b extienden esto a todas las potencias reales, incluidas fracciones y negativas (e^(−x) = 1/eˣ). El propio número e puede definirse como el límite de (1 + 1/n)ⁿ cuando n crece —el resultado de capitalizar un 100% de interés en infinitos períodos— o como la suma infinita 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ⋯.
Lo que hace especial a e entre todas las bases es la derivada: d/dx aˣ = aˣ·ln(a), y solo para a = e el factor ln vale 1, dejando la función inalterada al derivar. Equivalentemente, eˣ es la única función que cumple f′ = f con f(0) = 1. Por eso e se llama la base natural: el cálculo la distingue.
Forma, asíntota y crecimiento
Para x < 0 la gráfica abraza el eje x desde arriba, decayendo hacia 0 sin tocarlo nunca: la asíntota horizontal y = 0 cuando x → −∞. En x = 0 la curva pasa por (0, 1), su intersección con el eje y, y para x > 0 acelera hacia arriba, convexa en todas partes (segunda derivada eˣ > 0) y creciente en todas partes (primera derivada eˣ > 0). No hay ceros, ni puntos de giro, ni puntos de inflexión: solo un crecimiento implacable, suave y curvado hacia arriba.
El crecimiento exponencial termina superando a cualquier polinomio: eˣ crece más rápido que x¹⁰⁰, más rápido que cualquier potencia fija. Por eso las exponenciales modelan procesos desbocados —reacciones en cadena, propagación viral en su fase inicial— y también por eso sus inversas, los logaritmos, crecen tan despacio. En escala logarítmica, eˣ se convierte en la recta y = x, una forma práctica de detectar datos exponenciales.
Dónde aparecen las exponenciales
Toda ecuación diferencial de la forma dy/dx = ky tiene la solución y = Ce^(kx): la ley de enfriamiento de Newton, la desintegración radiactiva (con k < 0), el interés compuesto continuo y el crecimiento poblacional la siguen. La campana de la distribución normal, (1/√(2π))e^(−x²/2), pone una exponencial de una cuadrática en el centro de la estadística. En análisis complejo, la fórmula de Euler e^(iθ) = cos θ + i·sin θ fusiona exponenciales con trigonometría y sustenta toda la teoría de circuitos de corriente alterna y la mecánica cuántica.
En computación, las exponenciales cortan en ambos sentidos: los algoritmos con complejidad temporal exponencial se vuelven inviables al crecer las entradas, mientras que el retroceso exponencial —esperar 1, 2, 4, 8… segundos entre reintentos— es la cura estándar para servidores sobrecargados. La curva logística, eˣ/(1 + eˣ), doma el crecimiento exponencial puro con una capacidad de carga y modela desde epidemias hasta activaciones de redes neuronales.
Preguntas frecuentes
¿Por qué eˣ es su propia derivada?
Por definición, e es la única base para la que d/dx aˣ = aˣ·ln(a) tiene ln(a) = 1. Derivar eˣ con la definición de límite da eˣ por el límite de (e^h − 1)/h, y e se define precisamente como el número que hace ese límite igual a 1. Así que la pendiente de la gráfica en cada punto iguala la altura de la función allí.
¿Qué es e, exactamente?
Un número irracional de aproximadamente 2.71828, definible como el límite de (1 + 1/n)ⁿ cuando n → ∞ o la suma 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ⋯. Como π, su expansión decimal nunca se repite. Es la base «natural» porque el cálculo toma su forma más simple con ella.
¿eˣ llega alguna vez a cero?
No. Para x real, eˣ > 0 siempre: la gráfica se acerca al eje x asintóticamente cuando x → −∞ pero nunca lo toca. Esto se deduce de eˣ·e^(−x) = e^0 = 1: si eˣ fuera cero, el producto no podría ser 1.