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Derivadas: entender la razón de cambio y la pendiente
La derivada mide lo rápido que cambian las cosas
La derivada de una función es una nueva función que informa, en cada punto, lo rápido que cambia la función original. Si f(x) describe una cantidad —posición, precio, población—, entonces f′(x), la derivada en x, es la razón a la que esa cantidad cambia cuando la entrada es x. Una derivada positiva significa que la cantidad crece; una negativa, que se reduce; cero significa que está momentáneamente plana.
En concreto, f′(x) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x. Acércate lo suficiente a casi cualquier curva suave y parece una recta —la recta tangente—, y su inclinación es la derivada. Por eso la derivada tiene un significado geométrico y uno físico a la vez: pendiente en la gráfica, razón de cambio en el mundo.
Razón de cambio media frente a instantánea
En un intervalo, la razón de cambio media de f desde x = a hasta x = b es (f(b) − f(a)) / (b − a) —elevación sobre avance de la recta secante entre los dos puntos. Así es exactamente como calculas la velocidad media: distancia recorrida dividida entre tiempo transcurrido. Pero no dice nada sobre lo que pasó entre a y b.
La razón de cambio instantánea es lo que obtienes cuando el intervalo se encoge hasta desaparecer: el límite de (f(a+h) − f(a)) / h cuando h tiende a cero. Ese límite, cuando existe, es f′(a). En la práctica la calculadora computa las derivadas numéricamente a partir de esta idea, y puedes ver cómo la recta secante se inclina hasta convertirse en la tangente a medida que el intervalo se encoge. La razón instantánea es lo que muestra el velocímetro; la media es lo que muestra el ordenador de a bordo.
Leer el crecimiento y el decrecimiento
El signo de la derivada te dice el comportamiento de la función. Donde f′(x) > 0, la función es creciente —la gráfica sube de izquierda a derecha. Donde f′(x) < 0, es decreciente. Donde f′(x) = 0, la tangente es horizontal y la función no está ni subiendo ni bajando momentáneamente.
Toma f(x) = x^2. Su derivada es f′(x) = 2*x, negativa para x < 0 y positiva para x > 0. Efectivamente, la parábola desciende hacia el origen desde la izquierda y asciende alejándose de él a la derecha. Para f(x) = sin(x), la derivada es cos(x): la onda senoidal sube donde el coseno es positivo y baja donde es negativo, con picos planos exactamente donde cos(x) = 0.
Puntos críticos y extremos locales
Los puntos donde f′(x) = 0 o donde la derivada no existe se llaman puntos críticos, y son los candidatos a máximos y mínimos locales —los picos y valles de la curva. En x = 0, f(x) = x^2 tiene derivada 2*x = 0, y efectivamente (0, 0) es el fondo de la parábola: la función cae, se aplana y luego sube.
Pero una derivada cero no garantiza un pico o un valle. Para f(x) = x^3, la derivada es 3*x^2, que es cero en x = 0 —y sin embargo la función lo atraviesa directamente, aplanándose un instante en un punto de inflexión y siguiendo subiendo. Para clasificar un punto crítico, comprueba si la derivada cambia de signo a su alrededor: de negativo a positivo es un mínimo local, de positivo a negativo es un máximo local, sin cambio no es ninguno.
La segunda derivada y la concavidad
Derivar dos veces da f′′(x), la segunda derivada —la razón de cambio de la razón de cambio. Geométricamente describe la concavidad: donde f′′(x) > 0 la curva se dobla hacia arriba como una copa (cóncava hacia arriba), y donde f′′(x) < 0 se dobla hacia abajo como un ceño (cóncava hacia abajo).
Para f(x) = x^3, la segunda derivada es f′′(x) = 6*x: negativa a la izquierda del origen, positiva a su derecha. La cúbica se dobla hacia abajo a la izquierda, hacia arriba a la derecha, y cambia de concavidad en x = 0 —ese cambio es un punto de inflexión. La concavidad completa el retrato de la forma de una curva una vez que la primera derivada te ha dicho dónde sube y baja.
Pruébalo en la calculadora
Escribe cualquiera de estas expresiones en la calculadora gráfica para ver las ideas anteriores en acción:
- x^3 - 3*x
- sin(x)
- exp(x)
- x^2 * sin(x)
Ideas clave
- La derivada f′(x) es la razón de cambio instantánea de f en x —la pendiente de la recta tangente.
- Derivada positiva significa creciente, negativa significa decreciente, cero significa momentáneamente plana.
- Los puntos críticos (donde f′ = 0 o no existe) son los candidatos a máximos y mínimos locales; el cambio de signo de f′ los clasifica.
- Una derivada cero no siempre marca un extremo —x^3 tiene f′(0) = 0 pero sigue subiendo a través de un punto de inflexión.
- La segunda derivada f′′ describe la concavidad: copa hacia arriba donde es positiva, ceño hacia abajo donde es negativa.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre razón de cambio media e instantánea?
La razón media en [a, b] es (f(b) − f(a)) / (b − a), la pendiente de la recta secante entre los extremos. La instantánea en a es el límite de ese cociente cuando el intervalo se encoge a cero —la pendiente de la recta tangente, es decir, f′(a).
Si la derivada es cero en un punto, ¿siempre es un máximo o un mínimo?
No. Una derivada cero solo convierte el punto en crítico. Para f(x) = x^3, f′(0) = 0 pero la función sigue creciendo a través de x = 0 (un punto de inflexión). Comprueba si f′ cambia de signo a cada lado para clasificar el punto.
¿Qué te dice la segunda derivada?
Describe la concavidad: donde f′′(x) > 0 la curva se dobla hacia arriba (cóncava hacia arriba), y donde f′′(x) < 0 se dobla hacia abajo (cóncava hacia abajo). Los puntos donde cambia la concavidad son puntos de inflexión.