Bibliothèque de fonctions
Fonction exponentielle
f(x) = e^x
La fonction qui est sa propre dérivée — une croissance relative constante, toujours croissante, ne touchant jamais zéro.
La fonction exponentielle f(x) = eˣ est l’incarnation mathématique de la croissance proportionnelle à la taille : de l’argent qui rapporte des intérêts composés, des bactéries qui doublent dans une boîte de Petri, ou une rumeur qui se répand dans une foule. Sa propriété définissante est que son taux de variation égale sa valeur actuelle — d/dx eˣ = eˣ — voilà pourquoi elle apparaît chaque fois que le taux de croissance d’une quantité est proportionnel à la quantité elle-même. La base e ≈ 2,71828 est l’unique nombre qui rend cela possible.
Le graphe raconte l’histoire d’un coup d’œil : il passe par (0, 1), rampe presque à plat le long de l’axe des x pour les grands x négatifs (en approchant 0 sans jamais l’atteindre), puis se courbe vers le haut et grimpe de plus en plus raide pour les x positifs. En x = 1, il vaut e ≈ 2,718, en x = 2 il vaut e² ≈ 7,389, et chaque pas unitaire multiplie la valeur par un nouveau facteur e. Tapez e^x dans la calculatrice et comparez avec 2^x pour voir comment la base contrôle la raideur.
Propriétés calculées
Calculé par le moteur mathématique propre à la calculatrice graphique au moment de la compilation pour e^x .
- Racines dans [−10, 10]
- aucune trouvée
- Intersection avec l’axe y f(0)
- 1.0000
- Extrémums locaux dans [−10, 10]
- aucune trouvée
- Valeurs échantillons
- f(-2) = 0.1353 · f(-1) = 0.3679 · f(0) = 1 · f(1) = 2.7183 · f(2) = 7.3891
- Dérivée f′(1)
- 2.7183
- Intégrale ∫₀¹ f(x) dx
- 1.7183
Faits essentiels
- Domaine : tous les réels ; ensemble d’arrivée : y > 0 — eˣ n’est jamais nulle ni négative.
- Intersection avec l’axe y en (0, 1) ; asymptote horizontale y = 0 quand x → −∞.
- Strictement croissante et convexe partout ; ni maxima, ni minima, ni points d’inflexion.
- Sa propre dérivée : d/dx eˣ = eˣ ; une primitive est eˣ elle-même.
- Lois des exposants : e^(a+b) = e^a·e^b, e^(−x) = 1/eˣ, (eˣ)^n = e^(nx).
- e ≈ 2,71828 ; eˣ dépasse tout polynôme quand x → ∞.
Ce qu’est la fonction exponentielle
La multiplication répétée est le cœur de eˣ : e³ signifie e·e·e, et les lois des exposants e^(a+b) = e^a·e^b étendent cela à toutes les puissances réelles, y compris fractions et négatifs (e^(−x) = 1/eˣ). Le nombre e lui-même peut se définir comme la limite de (1 + 1/n)ⁿ quand n grandit — le résultat de composer des intérêts à 100 % sur une infinité de périodes — ou comme la somme infinie 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ⋯.
Ce qui rend e spécial parmi toutes les bases, c’est la dérivée : d/dx aˣ = aˣ·ln(a), et ce n’est que pour a = e que le facteur ln vaut 1, laissant la fonction inchangée par dérivation. De façon équivalente, eˣ est l’unique fonction vérifiant f′ = f avec f(0) = 1. Voilà pourquoi e est appelée la base naturelle — le calcul différentiel la distingue.
Forme, asymptote et croissance
Pour x < 0, le graphe épouse l’axe des x par au-dessus, décroissant vers 0 sans jamais le toucher — l’asymptote horizontale y = 0 quand x → −∞. En x = 0, la courbe passe par (0, 1), son ordonnée à l’origine, et pour x > 0 elle accélère vers le haut, convexe partout (dérivée seconde eˣ > 0) et croissante partout (dérivée première eˣ > 0). Pas de zéros, pas de points de retournement, pas de points d’inflexion : juste une croissance implacable, lisse, courbée vers le haut.
La croissance exponentielle finit par dépasser tout polynôme : eˣ croît plus vite que x¹⁰⁰, plus vite que toute puissance fixée. Voilà pourquoi les exponentielles modélisent les processus emballement — réactions en chaîne, propagation virale dans sa phase initiale — et aussi pourquoi leurs inverses, les logarithmes, croissent si lentement. Sur une échelle logarithmique, eˣ devient la droite y = x, un moyen pratique de repérer des données exponentielles.
Où apparaissent les exponentielles
Toute équation différentielle de la forme dy/dx = ky a pour solution y = Ce^(kx) : la loi de refroidissement de Newton, la décroissance radioactive (avec k < 0), les intérêts composés en continu et la croissance des populations la suivent. La courbe en cloche de la loi normale, (1/√(2π))e^(−x²/2), place une exponentielle de trinôme au centre des statistiques. En analyse complexe, la formule d’Euler e^(iθ) = cos θ + i·sin θ fusionne exponentielles et trigonométrie et fait fonctionner toute la théorie des circuits en courant alternatif et la mécanique quantique.
En informatique, les exponentielles coupent dans les deux sens : les algorithmes à complexité temporelle exponentielle deviennent infaisables quand les entrées grandissent, tandis que le backoff exponentiel — attendre 1, 2, 4, 8… secondes entre les tentatives — est le remède standard aux serveurs surchargés. La courbe logistique, eˣ/(1 + eˣ), dompte la croissance exponentielle pure avec une capacité limite et modélise tout, des épidémies aux activations de réseaux de neurones.
Questions fréquentes
Pourquoi eˣ est-elle sa propre dérivée ?
Par définition, e est l’unique base pour laquelle d/dx aˣ = aˣ·ln(a) a ln(a) = 1. Dériver eˣ via la définition par limite donne eˣ fois la limite de (e^h − 1)/h, et e est défini précisément comme le nombre qui rend cette limite égale à 1. La pente du graphe en chaque point égale donc la hauteur de la fonction en ce point.
Qu’est-ce que e, exactement ?
Un nombre irrationnel d’environ 2,71828, définissable comme la limite de (1 + 1/n)ⁿ quand n → ∞ ou la somme 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ⋯. Comme π, son développement décimal ne se répète jamais. C’est la base « naturelle » parce que le calcul différentiel prend sa forme la plus simple avec elle.
Est-ce que eˣ atteint parfois zéro ?
Non. Pour x réel, eˣ > 0 toujours — le graphe approche l’axe des x asymptotiquement quand x → −∞ mais ne le touche jamais. Cela découle de eˣ·e^(−x) = e^0 = 1 : si eˣ était nulle, le produit ne pourrait pas valoir 1.