Ejemplo resuelto
Crecimiento logístico: la curva S de los recursos limitados
El crecimiento ilimitado es exponencial, pero las poblaciones reales chocan con límites: alimento, espacio o tamaño del mercado. La función logística 10 / (1 + 9·exp(-x)) empieza pareciendo exponencial, luego se dobla y se nivela en una capacidad de carga —aquí, 10. El resultado es la famosa curva S que se ve en colonias de bacterias, adopción de productos y propagación de ideas.
La curva tiene un punto de inflexión donde pasa de acelerar a desacelerar —el momento de crecimiento más rápido, exactamente a mitad de camino hacia la capacidad de carga. Antes de ese punto la curva se dobla hacia arriba (el crecimiento se alimenta a sí mismo); después, se dobla hacia abajo a medida que el límite muerde. Encontrar ese punto de inflexión es una de las cosas más útiles que el cálculo puede hacer por un modelo.
Expresiones graficadas
- y = 10 / (1 + 9*exp(-x))
El enlace precarga estas expresiones exactas en la calculadora, sin necesidad de escribir.
Qué observar
- La asíntota horizontal y = 10 es la capacidad de carga a la que la curva se acerca sin superar nunca.
- La parte más empinada de la S es el punto de inflexión —donde el crecimiento es más rápido.
- Prueba 10 / (1 + 9*exp(-2*x)) para ver cómo una tasa de crecimiento mayor empina el centro de la S sin cambiar su techo.