Esempio svolto
Crescita logistica: la curva a S delle risorse limitate
La crescita illimitata è esponenziale, ma le popolazioni reali incontrano limiti: cibo, spazio o dimensione del mercato. La funzione logistica 10 / (1 + 9·exp(-x)) all’inizio sembra esponenziale, poi si piega e si livella a una capacità portante — qui, 10. Il risultato è la famosa curva a S vista nelle colonie batteriche, nell’adozione di prodotti e nella diffusione delle idee.
La curva ha un punto di flesso dove passa dall’accelerare al decelerare — il momento in cui la crescita è più veloce, esattamente a metà strada verso la capacità portante. Prima di quel punto la curva si piega verso l’alto (la crescita si autoalimenta); dopo, si piega verso il basso mentre il limite morde. Trovare quel punto di flesso è una delle cose più utili che l’analisi può fare per un modello.
Espressioni tracciate
- y = 10 / (1 + 9*exp(-x))
Il link precarica queste esatte espressioni nella calcolatrice — non serve digitare.
Cosa notare
- L’asintoto orizzontale y = 10 è la capacità portante a cui la curva tende senza mai superarla.
- La parte più ripida della S è il punto di flesso — dove la crescita è più veloce.
- Prova 10 / (1 + 9*exp(-2*x)) per vedere come un tasso di crescita più veloce irripidisce il centro della S senza cambiarne il tetto.