Exemple détaillé
Croissance logistique : la courbe en S des ressources limitées
La croissance illimitée est exponentielle, mais les populations réelles se heurtent à des limites : nourriture, espace ou taille du marché. La fonction logistique 10 / (1 + 9·exp(-x)) commence par ressembler à une exponentielle, puis se courbe et se stabilise à une capacité limite — ici, 10. Le résultat est la célèbre courbe en S qu’on voit dans les colonies bactériennes, l’adoption de produits et la diffusion des idées.
La courbe a un point d’inflexion où elle passe d’accélérée à décélérée — le moment où la croissance est la plus rapide, exactement à mi-chemin de la capacité limite. Avant ce point, la courbe se courbe vers le haut (la croissance s’auto-alimente) ; après, elle se courbe vers le bas quand la limite mord. Trouver ce point d’inflexion est l’une des choses les plus utiles que le calcul différentiel puisse faire pour un modèle.
Expressions tracées
- y = 10 / (1 + 9*exp(-x))
Le lien précharge exactement ces expressions dans la calculatrice — pas besoin de taper.
Ce qu’il faut remarquer
- L’asymptote horizontale y = 10 est la capacité limite dont la courbe s’approche sans jamais la dépasser.
- La partie la plus raide du S est le point d’inflexion — là où la croissance est la plus rapide.
- Essayez 10 / (1 + 9*exp(-2*x)) pour voir comment un taux de croissance plus rapide raidit le milieu du S sans changer son plafond.