Ausgearbeitetes Beispiel
Logistisches Wachstum: Die S-Kurve begrenzter Ressourcen
Unbegrenztes Wachstum ist exponentiell, aber reale Populationen stoßen an Grenzen: Nahrung, Raum oder Marktgröße. Die logistische Funktion 10 / (1 + 9·exp(-x)) beginnt exponentiell auszusehen, biegt dann um und ebnet sich bei einer Tragfähigkeit ab — hier 10. Das Ergebnis ist die berühmte S-Kurve, zu sehen in Bakterienkolonien, Produktadoption und der Verbreitung von Ideen.
Die Kurve hat einen Wendepunkt, wo sie von beschleunigend zu abbremsend wechselt — der Moment schnellsten Wachstums, exakt auf halbem Weg zur Tragfähigkeit. Vor diesem Punkt biegt sich die Kurve nach oben (Wachstum, das sich selbst nährt); danach biegt sie sich nach unten, wenn die Grenze greift. Diesen Wendepunkt zu finden, ist eines der nützlichsten Dinge, die Analysis für ein Modell tun kann.
Gezeichnete Ausdrücke
- y = 10 / (1 + 9*exp(-x))
Der Link lädt genau diese Ausdrücke in den Rechner — Eintippen ist nicht nötig.
Worauf Sie achten sollten
- Die waagrechte Asymptote y = 10 ist die Tragfähigkeit, der sich die Kurve nähert, aber die sie niemals überschreitet.
- Der steilste Teil des S ist der Wendepunkt — wo das Wachstum am schnellsten ist.
- Versuchen Sie 10 / (1 + 9*exp(-2*x)), um zu sehen, wie eine schnellere Wachstumsrate die Mitte des S versteilert, ohne seine Decke zu ändern.