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Funzione reciproca
f(x) = 1/x
L’iperbole 1/x — due rami speculari divisi da asintoti su entrambi gli assi.
La funzione reciproca f(x) = 1/x è il grafico della proporzionalità inversa: raddoppia l’input, dimezza l’output. Il suo grafico è un’iperbole con due rami — uno nel primo quadrante che spazza da +∞ giù verso l’asse x, uno nel terzo quadrante che sale da −∞ su verso di esso — separati da un varco invalicabile in x = 0. La curva non tocca mai nessuno dei due assi: l’asse y (x = 0) è un asintoto verticale e l’asse x (y = 0) è orizzontale.
Ovunque una quantità sia divisa per un’altra, il reciproco è in agguato: a tensione fissa, la corrente è proporzionale a 1/R (legge di Ohm); a quantità di gas fissa, la pressione è proporzionale a 1/V (legge di Boyle); il tempo per completare un lavoro è proporzionale a 1/(lavoratori). La funzione è la propria inversa — applicarla due volte restituisce x — e dispari, con simmetria rotazionale di 180° attorno all’origine. Digita 1/x nella calcolatrice e allontana lo zoom: i rami si appiattiscono contro gli assi ma non atterrano mai.
Proprietà calcolate
Calcolate dal motore matematico della calcolatrice grafica al momento della build per 1/x .
- Radici in [−10, 10]
- nessuna trovata
- Intercetta y f(0)
- undefined
- Estremi locali in [−10, 10]
- nessuna trovata
- Valori campione
- f(-2) = -0.5 · f(-1) = -1 · f(0) = non definito · f(1) = 1 · f(2) = 0.5
- Derivata f′(1)
- -1.0000
- Integrale ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Fatti chiave
- Dominio: tutti gli x reali ≠ 0; codominio: tutti gli y reali ≠ 0. Indefinita in x = 0.
- Iperbole con due rami: (0, ∞) dà valori positivi, (−∞, 0) dà valori negativi.
- Asintoto verticale x = 0; asintoto orizzontale y = 0.
- Funzione dispari: f(−x) = −f(x); simmetria rotazionale di 180° attorno all’origine; propria inversa.
- Passa per (1, 1) e (−1, −1); strettamente decrescente su ciascun ramo.
- Derivata f′(x) = −1/x²; la primitiva è ln|x| + C.
Cos’è il reciproco
Fare il reciproco significa dividere 1 per l’input: 1/2 = 0.5, 1/4 = 0.25, 1/0.5 = 2. Input piccoli producono output enormi e input enormi producono output minuscoli — l’altalena definitoria della proporzionalità inversa. Poiché 1/(1/x) = x, la funzione è un’involuzione: disfa sé stessa, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto alla retta y = x, il marchio delle funzioni inverse.
La funzione è dispari, f(−x) = −f(x): il ramo del terzo quadrante è il ramo del primo ruotato di 180° attorno all’origine. I punti notevoli sono (1, 1) e (−1, −1), gli unici punti in cui input e output coincidono (risolvere 1/x = x dà x² = 1). Ovunque altrove, input e output differiscono — drammaticamente vicino allo zero.
Due asintoti, due rami
x = 0 è un asintoto verticale: mentre x → 0⁺ i valori → +∞, mentre x → 0⁻ essi → −∞, e 1/0 è indefinito — la divisione per zero non ha significato, quindi i rami non possono mai unirsi. y = 0 è un asintoto orizzontale: mentre |x| → ∞ i valori → 0, avvicinandosi all’asse x sempre di più senza raggiungerlo. Gli assi sono muri che la curva avvicina ma non tocca mai.
Ciascun ramo è strettamente decrescente: su (0, ∞), x più grande dà 1/x più piccolo, e lo stesso vale su (−∞, 0). Ma la funzione nel suo insieme non è decrescente — salta da −∞ su a +∞ attraverso il varco in zero. La derivata f′(x) = −1/x² è negativa dove definita, a conferma della discesa su ciascun ramo, e la curva è convessa su (0, ∞) e concava su (−∞, 0).
Dove compare il reciproco
La proporzionalità inversa è ovunque nella scienza: la legge di Boyle (P ∝ 1/V), la legge di Ohm (I = V/R), l’equazione delle lenti 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, e le forze gravitazionali ed elettrostatiche che decadono come 1/r². In ciascun caso, raddoppiare il denominatore dimezza il risultato — la firma del reciproco. Frequenza e periodo sono reciproci (f = 1/T): un periodo di 0.01 s è un tono di 100 Hz.
In analisi, 1/x è famosa come la funzione la cui primitiva non è una potenza: ∫(1/x)dx = ln|x| + C, l’integrale che costrinse all’invenzione del logaritmo. Il suo integrale improprio da 1 a ∞ diverge (il cugino continuo della serie armonica), eppure la stessa forma ruotata dà la tromba di Gabriele — volume finito, area superficiale infinita.
Domande frequenti
Perché 1/0 è indefinito?
La divisione chiede “cosa per il divisore dà il dividendo?” — nessun numero per 0 dà 1, quindi 1/0 non ha risposta. Sul grafico questo si mostra come l’asintoto verticale: i valori esplodono a ±∞ vicino allo zero ma non si assestano mai su un valore in zero stesso.
1/x è crescente o decrescente?
Decrescente su ciascuno dei suoi due intervalli — prendi due numeri positivi qualsiasi e l’input maggiore dà l’output minore — ma non decrescente nel complesso, perché salta da −∞ a +∞ attraverso x = 0. La derivata −1/x² è negativa ovunque la funzione è definita, il che parla solo del comportamento dentro ciascun ramo.
Qual è l’integrale di 1/x?
ln|x| + C. La regola delle potenze ∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) fallisce in n = −1 (divisione per zero), quindi 1/x ha bisogno della sua primitiva — storicamente, questo integrale è come fu definito per primo il logaritmo naturale. Il valore assoluto mantiene la formula valida anche per x negativi.