Funktionsbibliothek
Kehrwertfunktion
f(x) = 1/x
Die Hyperbel 1/x — zwei gespiegelte Äste, getrennt durch Asymptoten auf beiden Achsen.
Die Kehrwertfunktion f(x) = 1/x ist der Graph umgekehrter Proportionalität: die Eingabe verdoppeln, die Ausgabe halbieren. Ihr Graph ist eine Hyperbel mit zwei Ästen — einer im ersten Quadranten, der von +∞ zur x-Achse hinunterfegt, einer im dritten Quadranten, der von −∞ zu ihr hinaufsteigt — getrennt durch eine unüberwindbare Lücke bei x = 0. Die Kurve berührt niemals eine Achse: Die y-Achse (x = 0) ist eine senkrechte Asymptote und die x-Achse (y = 0) eine waagrechte.
Wo immer eine Größe durch eine andere geteilt wird, lauert der Kehrwert: Bei fester Spannung ist der Strom proportional zu 1/R (Ohmsches Gesetz); bei fester Gasmenge ist der Druck proportional zu 1/V (Boyle-Mariotte-Gesetz); die Zeit zur Erledigung einer Arbeit ist proportional zu 1/(Arbeiter). Die Funktion ist ihre eigene Umkehrung — zweimaliges Anwenden gibt x zurück — und ungerade, mit 180°-Drehsymmetrie um den Ursprung. Geben Sie 1/x in den Rechner ein und zoomen Sie heraus: Die Äste schmiegen sich an die Achsen, landen aber nie.
Berechnete Eigenschaften
Zur Build-Zeit von der eigenen Rechen-Engine des Grafikrechners berechnet für 1/x .
- Nullstellen in [−10, 10]
- keine gefunden
- y-Achsenabschnitt f(0)
- undefined
- Lokale Extremstellen in [−10, 10]
- keine gefunden
- Stichprobenwerte
- f(-2) = -0.5 · f(-1) = -1 · f(0) = undefiniert · f(1) = 1 · f(2) = 0.5
- Ableitung f′(1)
- -1.0000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Wichtige Fakten
- Definitionsbereich: alle reellen x ≠ 0; Wertebereich: alle reellen y ≠ 0. Undefiniert bei x = 0.
- Hyperbel mit zwei Ästen: (0, ∞) gibt positive Werte, (−∞, 0) gibt negative Werte.
- Senkrechte Asymptote x = 0; waagrechte Asymptote y = 0.
- Ungerade Funktion: f(−x) = −f(x); 180°-Drehsymmetrie um den Ursprung; ihre eigene Umkehrung.
- Passiert (1, 1) und (−1, −1); streng fallend auf jedem Ast.
- Ableitung f′(x) = −1/x²; Stammfunktion ist ln|x| + C.
Was der Kehrwert ist
Einen Kehrwert bilden heißt 1 durch die Eingabe teilen: 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 1/0,5 = 2. Kleine Eingaben erzeugen riesige Ausgaben und riesige Eingaben winzige — die definierende Wippe umgekehrter Proportionalität. Weil 1/(1/x) = x, ist die Funktion eine Involution: Sie macht sich selbst rückgängig, sodass ihr Graph symmetrisch zur Geraden y = x ist, dem Kennzeichen von Umkehrfunktionen.
Die Funktion ist ungerade, f(−x) = −f(x): Der Ast im dritten Quadranten ist der Ast im ersten Quadranten, um 180° um den Ursprung gedreht. Bemerkenswerte Punkte sind (1, 1) und (−1, −1), die einzigen Punkte, wo Eingabe gleich Ausgabe ist (das Lösen von 1/x = x ergibt x² = 1). Überall sonst unterscheiden sich Eingabe und Ausgabe — dramatisch so nahe null.
Zwei Asymptoten, zwei Äste
x = 0 ist eine senkrechte Asymptote: Für x → 0⁺ gehen die Werte gegen +∞, für x → 0⁻ gegen −∞, und 1/0 ist undefiniert — Division durch null hat keine Bedeutung, sodass sich die Äste niemals verbinden können. y = 0 ist eine waagrechte Asymptote: Für |x| → ∞ gehen die Werte gegen 0 und nähern sich der x-Achse immer weiter an, ohne sie zu erreichen. Die Achsen sind Mauern, denen sich die Kurve nähert, aber die sie niemals berührt.
Jeder Ast ist streng fallend: Auf (0, ∞) gibt größeres x kleineres 1/x, und dasselbe gilt auf (−∞, 0). Aber die Funktion als Ganzes fällt nicht — sie springt über die Lücke bei null von −∞ auf +∞. Die Ableitung f′(x) = −1/x² ist negativ, wo immer sie definiert ist, was den Abwärtsgleit auf jedem Ast bestätigt, und die Kurve ist konvex auf (0, ∞) und konkav auf (−∞, 0).
Wo der Kehrwert vorkommt
Umgekehrte Proportionalität ist überall in der Wissenschaft: Boyle-Mariotte-Gesetz (P ∝ 1/V), Ohmsches Gesetz (I = U/R), die Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b und Gravitations- und elektrostatische Kräfte, die als 1/r² fallen. In jedem Fall halbiert das Verdoppeln des Nenners das Ergebnis — die Signatur des Kehrwerts. Frequenz und Periode sind Kehrwerte (f = 1/T): Eine 0,01-s-Periode ist ein 100-Hz-Ton.
In der Analysis ist 1/x berühmt als die Funktion, deren Stammfunktion keine Potenz ist: ∫(1/x)dx = ln|x| + C, das Integral, das die Erfindung des Logarithmus erzwang. Ihr uneigentliches Integral von 1 bis ∞ divergiert (der stetige Cousin der harmonischen Reihe), doch dieselbe Form rotiert ergibt Gabriels Horn — endliches Volumen, unendliche Oberfläche.
Häufig gestellte Fragen
Warum ist 1/0 undefiniert?
Division fragt „was mal dem Divisor ergibt den Dividenden?“ — keine Zahl mal 0 ergibt 1, sodass 1/0 keine Antwort hat. Auf dem Graphen zeigt sich das als senkrechte Asymptote: Werte explodieren nahe null gegen ±∞, setzen sich aber an null selbst auf keinen Wert.
Ist 1/x steigend oder fallend?
Fallend auf jedem seiner zwei Intervalle — nehmen Sie zwei beliebige positive Zahlen, und die größere Eingabe gibt die kleinere Ausgabe — aber nicht insgesamt fallend, weil sie über x = 0 von −∞ auf +∞ springt. Die Ableitung −1/x² ist negativ überall, wo die Funktion definiert ist, was nur über das Verhalten innerhalb jedes Asts spricht.
Was ist das Integral von 1/x?
ln|x| + C. Die Potenzregel ∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) versagt bei n = −1 (Division durch null), sodass 1/x seine eigene Stammfunktion braucht — historisch ist dieses Integral, wie der natürliche Logarithmus zuerst definiert wurde. Der Betrag hält die Formel auch für negative x gültig.