Biblioteca de funciones
Función recíproca
f(x) = 1/x
La hipérbola clásica: dos curvas espejadas que abrazan los ejes sin tocarlos jamás.
La función recíproca, f(x) = 1/x, dibuja la hipérbola más famosa de las matemáticas: dos curvas suaves en cuadrantes opuestos, cada una abrazando los ejes cada vez más cerca sin llegar a tocarlos. Para x positiva grande, 1/x es un susurro positivo diminuto; para x positiva diminuta, es un gigante: la entrada y la salida se equilibran de modo que su producto siempre es 1. En el lado negativo todo se refleja con el signo cambiado.
La recíproca es el arquetipo de la relación inversa: duplicar la entrada reduce la salida a la mitad. Aparece en la ecuación de las lentes, en las resistencias en paralelo, en la ley de la gravitación y dondequiera que una cantidad fija se reparta entre más participantes. Escribe 1/x en la calculadora y observa las asíntotas: el eje y (x = 0, donde la división explota) y el eje x (y = 0, al que la curva se acerca eternamente).
Propiedades calculadas
Calculado por el propio motor matemático de la calculadora gráfica al generar esta página para 1/x .
- Raíces en [−10, 10]
- ninguna
- Intersección con el eje y f(0)
- undefined
- Extremos locales en [−10, 10]
- ninguna
- Valores de muestra
- f(-2) = -0.5 · f(-1) = -1 · f(0) = indefinido · f(1) = 1 · f(2) = 0.5
- Derivada f′(1)
- -1.0000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Datos clave
- Dominio: todos los reales excepto x = 0; rango: todos los reales excepto y = 0.
- Asíntota vertical x = 0; asíntota horizontal y = 0.
- Función impar: 1/(−x) = −(1/x); simetría rotacional de 180° sobre el origen.
- Su propia inversa: 1/(1/x) = x; la gráfica es simétrica respecto a la recta y = x.
- Derivada f′(x) = −1/x² < 0 donde existe: cada rama es estrictamente decreciente.
- El producto x·(1/x) = 1 para todo x ≠ 0: la entrada y la salida se equilibran.
Qué es la función recíproca
El recíproco de x es el número que multiplicado por x da 1: el inverso multiplicativo. Todo número real no nulo tiene uno, y la función 1/x los empareja: 2 ↔ 1/2, −4 ↔ −1/4, 0,5 ↔ 2. El cero queda excluido —ningún número multiplicado por 0 da 1—, así que el dominio son todos los reales excepto x = 0, y la gráfica se divide en dos ramas separadas.
La función es su propia inversa: aplicar la recíproca dos veces devuelve el punto de partida, 1/(1/x) = x. Geométricamente esto significa que la gráfica es simétrica respecto a la recta y = x: reflejar la rama del primer cuadrante en esa diagonal la lleva sobre sí misma. También es una función impar, 1/(−x) = −(1/x), así que la rama del tercer cuadrante es la del primero rotada 180° sobre el origen.
Asíntotas y comportamiento hiperbólico
Cuando x → 0⁺, 1/x → +∞; cuando x → 0⁻, 1/x → −∞: el eje y es una asíntota vertical con la curva disparándose hacia arriba en un lado y hacia abajo en el otro. Cuando x → ±∞, 1/x → 0: el eje x es una asíntota horizontal, con la curva acercándose desde arriba a la derecha y desde abajo a la izquierda. Los ejes enmarcan cada rama pero nunca la tocan.
La derivada f′(x) = −1/x² es siempre negativa (donde existe), así que cada rama desciende de izquierda a derecha: la rama derecha cae de +∞ a 0, la izquierda sube de 0 a... espera, no: la rama izquierda va de 0 (en −∞) hacia abajo hasta −∞ (en 0⁻), también descendente. La curva es convexa en x > 0 y cóncava en x < 0, con la simetría impar intercambiando ambas.
Dónde aparece la recíproca
Las relaciones inversas saturan la ciencia: la ley de la gravitación y la de Coulomb decaen como 1/r², la ecuación de las lentes delgadas dice 1/f = 1/do + 1/di, y las resistencias en paralelo se combinan como 1/R = 1/R₁ + 1/R₂. «Tiempo = distancia/velocidad» es una recíproca disfrazada, igual que «densidad = masa/volumen»: fijada una cantidad, la otra varía inversamente.
En economía, la curva de demanda a menudo se modela con elasticidad constante mediante funciones de potencia que incluyen la recíproca, y el «reparto» —dividir un recurso fijo entre n personas da 1/n a cada una— es la recíproca en su forma más cotidiana. En cálculo, ∫(1/x)dx = ln|x| es la integral que la regla de potencias no puede tocar, vinculando la hipérbola con el logaritmo.
Preguntas frecuentes
¿Por qué 1/x no está definida en x = 0?
Porque ningún número multiplicado por 0 da 1: la ecuación 0·y = 1 no tiene solución. Al acercarse a 0 los valores explotan a ±∞, así que no hay ningún valor finito que asignar. La asíntota vertical marca una ruptura genuina, no un hueco rellenable.
¿Las dos ramas están conectadas?
No: el dominio excluye x = 0, así que la rama del primer cuadrante (x > 0) y la del tercer cuadrante (x < 0) son piezas separadas sin puente entre ellas. La gráfica tiene dos componentes, aunque la simetría impar las haga parecer reflejos.
¿Qué significa que sea «su propia inversa»?
Aplicar la función dos veces te devuelve al inicio: 1/(1/x) = x. Gráficamente, reflejar la curva en la recta y = x la deja inalterada. Muy pocas funciones tienen esta propiedad: la recíproca y la identidad son los ejemplos clásicos.