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Função Recíproca
f(x) = 1/x
A hipérbole 1/x — dois ramos espelhados divididos por assíntotas em ambos os eixos.
A função recíproca f(x) = 1/x é o gráfico da proporção inversa: dobre a entrada, reduza a saída à metade. Seu gráfico é uma hipérbole com dois ramos — um no primeiro quadrante varrendo de +∞ em direção ao eixo x, outro no terceiro quadrante subindo de −∞ em direção a ele — separados por uma lacuna intransponível em x = 0. A curva nunca toca nenhum dos eixos: o eixo y (x = 0) é uma assíntota vertical e o eixo x (y = 0) é uma horizontal.
Onde quer que uma quantidade seja dividida por outra, a recíproca espreita: com tensão fixa, a corrente é proporcional a 1/R (lei de Ohm); com quantidade fixa de gás, a pressão é proporcional a 1/V (lei de Boyle); o tempo para concluir um trabalho é proporcional a 1/(trabalhadores). A função é a própria inversa — aplicá-la duas vezes devolve x — e ímpar, com simetria rotacional de 180° em torno da origem. Digite 1/x na calculadora e afaste o zoom: os ramos se achatam contra os eixos, mas nunca pousam.
Propriedades calculadas
Calculado pelo próprio motor matemático da calculadora gráfica em tempo de construção para 1/x .
- Raízes em [−10, 10]
- nenhuma encontrada
- Interseção com o eixo y f(0)
- undefined
- Extremos locais em [−10, 10]
- nenhuma encontrada
- Valores de amostra
- f(-2) = -0.5 · f(-1) = -1 · f(0) = indefinido · f(1) = 1 · f(2) = 0.5
- Derivada f′(1)
- -1.0000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Fatos principais
- Domínio: todo x real ≠ 0; imagem: todo y real ≠ 0. Indefinida em x = 0.
- Hipérbole com dois ramos: (0, ∞) dá valores positivos, (−∞, 0) dá valores negativos.
- Assíntota vertical x = 0; assíntota horizontal y = 0.
- Função ímpar: f(−x) = −f(x); simetria rotacional de 180° em torno da origem; é a própria inversa.
- Passa por (1, 1) e (−1, −1); estritamente decrescente em cada ramo.
- Derivada f′(x) = −1/x²; a primitiva é ln|x| + C.
O que é a recíproca
Tomar uma recíproca significa dividir 1 pela entrada: 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 1/0,5 = 2. Entradas pequenas produzem saídas enormes e entradas enormes produzem saídas minúsculas — a gangorra definidora da proporção inversa. Como 1/(1/x) = x, a função é uma involução: ela se desfaz sozinha, de modo que seu gráfico é simétrico em relação à reta y = x, a marca registrada das funções inversas.
A função é ímpar, f(−x) = −f(x): o ramo do terceiro quadrante é o ramo do primeiro quadrante girado 180° em torno da origem. Pontos notáveis são (1, 1) e (−1, −1), os únicos pontos onde entrada é igual à saída (resolver 1/x = x dá x² = 1). Em todos os outros lugares, entrada e saída diferem — dramaticamente perto do zero.
Duas assíntotas, dois ramos
x = 0 é uma assíntota vertical: quando x → 0⁺, os valores → +∞; quando x → 0⁻, eles → −∞; e 1/0 é indefinido — divisão por zero não tem significado, de modo que os ramos nunca podem se unir. y = 0 é uma assíntota horizontal: quando |x| → ∞, os valores → 0, aproximando-se do eixo x cada vez mais sem alcançá-lo. Os eixos são paredes que a curva se aproxima, mas nunca toca.
Cada ramo é estritamente decrescente: em (0, ∞), um x maior dá um 1/x menor, e o mesmo vale em (−∞, 0). Mas a função como um todo não é decrescente — ela salta de −∞ para +∞ através da lacuna no zero. A derivada f′(x) = −1/x² é negativa onde quer que esteja definida, confirmando a descida em cada ramo, e a curva é convexa em (0, ∞) e côncava em (−∞, 0).
Onde a recíproca aparece
A proporcionalidade inversa está em toda parte na ciência: a lei de Boyle (P ∝ 1/V), a lei de Ohm (I = V/R), a equação das lentes 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, e as forças gravitacionais e eletrostáticas caindo como 1/r². Em cada caso, dobrar o denominador reduz o resultado à metade — a assinatura da recíproca. Frequência e período são recíprocos (f = 1/T): um período de 0,01 s é um tom de 100 Hz.
No cálculo, 1/x é famosa como a função cuja primitiva não é uma potência: ∫(1/x)dx = ln|x| + C, a integral que forçou a invenção do logaritmo. Sua integral imprópria de 1 a ∞ diverge (a prima contínua da série harmônica), mas a mesma forma girada dá a trombeta de Gabriel — volume finito, área de superfície infinita.
Perguntas frequentes
Por que 1/0 é indefinido?
A divisão pergunta “o que vezes o divisor dá o dividendo?” — nenhum número vezes 0 dá 1, então 1/0 não tem resposta. No gráfico, isso aparece como a assíntota vertical: os valores explodem para ±∞ perto do zero, mas nunca se estabilizam em um valor no próprio zero.
1/x é crescente ou decrescente?
Decrescente em cada um de seus dois intervalos — escolha dois números positivos quaisquer e a entrada maior dá a saída menor — mas não decrescente como um todo, porque salta de −∞ para +∞ através de x = 0. A derivada −1/x² é negativa em todos os lugares onde a função está definida, o que só fala do comportamento dentro de cada ramo.
Qual é a integral de 1/x?
ln|x| + C. A regra da potência ∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) falha em n = −1 (divisão por zero), de modo que 1/x precisa de sua própria primitiva — historicamente, esta integral é como o logaritmo natural foi definido pela primeira vez. O valor absoluto mantém a fórmula válida também para x negativo.