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Fonction inverse

f(x) = 1/x

L’hyperbole 1/x — deux branches miroirs séparées par des asymptotes sur les deux axes.

La fonction inverse f(x) = 1/x est le graphe de la proportionnalité inverse : doublez l’entrée, divisez la sortie par deux. Son graphe est une hyperbole à deux branches — l’une dans le premier quadrant balayant de +∞ vers l’axe des x, l’autre dans le troisième quadrant montant de −∞ vers lui — séparées par un fossé infranchissable en x = 0. La courbe ne touche jamais aucun axe : l’axe des y (x = 0) est une asymptote verticale et l’axe des x (y = 0) en est une horizontale.

Partout où une quantité est divisée par une autre, l’inverse rôde : à tension fixée, le courant est proportionnel à 1/R (loi d’Ohm) ; à quantité de gaz fixée, la pression est proportionnelle à 1/V (loi de Boyle) ; le temps pour accomplir un travail est proportionnel à 1/(travailleurs). La fonction est sa propre inverse — l’appliquer deux fois rend x — et impaire, avec une symétrie centrale de 180° autour de l’origine. Tapez 1/x dans la calculatrice et dézoomez : les branches s’aplatissent contre les axes sans jamais s’y poser.

Propriétés calculées

Calculé par le moteur mathématique propre à la calculatrice graphique au moment de la compilation pour 1/x .

Racines dans [−10, 10]: aucune trouvée
Intersection avec l’axe y f(0): undefined
Extrémums locaux dans [−10, 10]: aucune trouvée
Valeurs échantillons: f(-2) = -0.5 · f(-1) = -1 · f(0) = non défini · f(1) = 1 · f(2) = 0.5
Dérivée f′(1): -1.0000
Intégrale ∫₀¹ f(x) dx: undefined

Faits essentiels

Domaine : tous les réels x ≠ 0 ; ensemble d’arrivée : tous les réels y ≠ 0. Non définie en x = 0.
Hyperbole à deux branches : (0, ∞) donne des valeurs positives, (−∞, 0) des valeurs négatives.
Asymptote verticale x = 0 ; asymptote horizontale y = 0.
Fonction impaire : f(−x) = −f(x) ; symétrie centrale de 180° autour de l’origine ; sa propre inverse.
Passe par (1, 1) et (−1, −1) ; strictement décroissante sur chaque branche.
Dérivée f′(x) = −1/x² ; une primitive est ln|x| + C.

Ce qu’est la fonction inverse

Prendre un inverse signifie diviser 1 par l’entrée : 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 1/0,5 = 2. Les petites entrées produisent d’immenses sorties et les immenses entrées de minuscules sorties — la bascule définissante de la proportionnalité inverse. Comme 1/(1/x) = x, la fonction est une involution : elle se défait elle-même, donc son graphe est symétrique par rapport à la droite y = x, la marque des fonctions inverses.

La fonction est impaire, f(−x) = −f(x) : la branche du troisième quadrant est celle du premier pivotée de 180° autour de l’origine. Les points notables sont (1, 1) et (−1, −1), les seuls points où l’entrée égale la sortie (résoudre 1/x = x donne x² = 1). Partout ailleurs, entrée et sortie diffèrent — spectaculairement près de zéro.

Deux asymptotes, deux branches

x = 0 est une asymptote verticale : quand x → 0⁺ les valeurs → +∞, quand x → 0⁻ elles → −∞, et 1/0 est non défini — la division par zéro n’a pas de sens, donc les branches ne peuvent jamais se rejoindre. y = 0 est une asymptote horizontale : quand |x| → ∞ les valeurs → 0, approchant l’axe des x de toujours plus près sans l’atteindre. Les axes sont des murs que la courbe approche sans jamais toucher.

Chaque branche est strictement décroissante : sur (0, ∞), un x plus grand donne un 1/x plus petit, et de même sur (−∞, 0). Mais la fonction dans son ensemble n’est pas décroissante — elle saute de −∞ à +∞ à travers le fossé en zéro. La dérivée f′(x) = −1/x² est négative partout où elle est définie, confirmant la descente sur chaque branche, et la courbe est convexe sur (0, ∞) et concave sur (−∞, 0).

Où apparaît la fonction inverse

La proportionnalité inverse est partout en science : la loi de Boyle (P ∝ 1/V), la loi d’Ohm (I = V/R), l’équation des lentilles 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, et les forces gravitationnelles et électrostatiques qui décroissent en 1/r². Dans chaque cas, doubler le dénominateur divise le résultat par deux — la signature de l’inverse. Fréquence et période sont inverses (f = 1/T) : une période de 0,01 s est un ton de 100 Hz.

En calcul différentiel, 1/x est célèbre comme la fonction dont la primitive n’est pas une puissance : ∫(1/x)dx = ln|x| + C, l’intégrale qui força l’invention du logarithme. Son intégrale impropre de 1 à ∞ diverge (la cousine continue de la série harmonique), pourtant cette même forme tournée donne le cor de Gabriel — volume fini, aire infinie.

Tracer f(x) = 1/x dans la calculatrice

Questions fréquentes

Pourquoi 1/0 est-il non défini ?

La division demande « quoi fois le diviseur donne le dividende ? » — aucun nombre fois 0 ne donne 1 : 1/0 n’a donc pas de réponse. Sur le graphe, cela se voit comme l’asymptote verticale : les valeurs explosent vers ±∞ près de zéro mais ne se fixent sur aucune valeur en zéro même.

Est-ce que 1/x est croissante ou décroissante ?

Décroissante sur chacun de ses deux intervalles — prenez deux nombres positifs quelconques et la plus grande entrée donne la plus petite sortie — mais pas décroissante globalement, car elle saute de −∞ à +∞ à travers x = 0. La dérivée −1/x² est négative partout où la fonction est définie, ce qui ne parle que du comportement au sein de chaque branche.

Quelle est l’intégrale de 1/x ?

ln|x| + C. La règle des puissances ∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) échoue en n = −1 (division par zéro) : 1/x a donc besoin de sa propre primitive — historiquement, c’est cette intégrale qui définit le logarithme naturel. La valeur absolue garde la formule valide pour les x négatifs aussi.