Dérivées : comprendre le taux de variation et la pente

La dérivée mesure la vitesse de variation

La dérivée d’une fonction est une nouvelle fonction qui indique, en chaque point, à quelle vitesse la fonction d’origine varie. Si f(x) décrit une grandeur — position, prix, population — alors f′(x), la dérivée en x, est le taux auquel cette grandeur varie quand l’entrée vaut x. Une dérivée positive signifie que la grandeur augmente ; une négative, qu’elle diminue ; une nulle, qu’elle est momentanément plate.

Concrètement, f′(x) est la pente de la tangente à la courbe en x. Zoomez suffisamment près sur presque n’importe quelle courbe lisse et elle ressemble à une droite — la tangente — dont l’inclinaison est la dérivée. Voilà pourquoi la dérivée a en même temps un sens géométrique et un sens physique : pente sur le graphe, taux de variation dans le monde réel.

Taux de variation moyen vs instantané

Sur un intervalle, le taux de variation moyen de f entre x = a et x = b vaut (f(b) − f(a)) / (b − a) — la pente de la sécante entre les deux points. C’est exactement ainsi qu’on calcule une vitesse moyenne : distance parcourue divisée par temps écoulé. Mais cela ne dit rien de ce qui s’est passé entre a et b.

Le taux de variation instantané est ce qu’on obtient quand l’intervalle se réduit à rien : la limite de (f(a+h) − f(a)) / h quand h tend vers zéro. Cette limite, quand elle existe, est f′(a). En pratique, la calculatrice calcule les dérivées numériquement à partir de cette idée, et vous pouvez regarder la sécante basculer vers la tangente à mesure que l’intervalle se rétrécit. Le taux instantané, c’est ce qu’affiche le compteur de vitesse ; le taux moyen, ce qu’affiche l’ordinateur de bord.

Lire la croissance et la décroissance

Le signe de la dérivée indique le comportement de la fonction. Là où f′(x) > 0, la fonction est croissante — le graphe monte de gauche à droite. Là où f′(x) < 0, elle est décroissante. Là où f′(x) = 0, la tangente est horizontale, et la fonction n’est momentanément ni montante ni descendante.

Prenez f(x) = x^2. Sa dérivée est f′(x) = 2*x, négative pour x < 0 et positive pour x > 0. Et en effet, la parabole descend vers l’origine depuis la gauche et remonte vers la droite. Pour f(x) = sin(x), la dérivée est cos(x) : l’onde sinusoïdale monte là où le cosinus est positif et descend là où il est négatif, avec des sommets plats exactement là où cos(x) = 0.

Points critiques et extrêmes locaux

Les points où f′(x) = 0 ou où la dérivée n’existe pas s’appellent points critiques, et ce sont les candidats aux maxima et minima locaux — les sommets et les vallées de la courbe. En x = 0, f(x) = x^2 a pour dérivée 2*x = 0, et (0, 0) est bien le fond de la parabole : la fonction descend, s’aplatit, puis remonte.

Mais une dérivée nulle ne garantit pas un sommet ou une vallée. Pour f(x) = x^3, la dérivée est 3*x^2, nulle en x = 0 — pourtant la fonction traverse ce point en ligne droite, s’aplatissant un instant en un point d’inflexion avant de continuer à monter. Pour classer un point critique, vérifiez si la dérivée change de signe autour de lui : négatif-vers-positif, c’est un minimum local ; positif-vers-négatif, un maximum local ; pas de changement, ni l’un ni l’autre.

La dérivée seconde et la concavité

Dériver deux fois donne f′′(x), la dérivée seconde — le taux de variation du taux de variation. Géométriquement, elle décrit la concavité : là où f′′(x) > 0, la courbe se creuse vers le haut comme une coupe (concave vers le haut), et là où f′′(x) < 0, elle se courbe vers le bas comme un front soucieux (concave vers le bas).

Pour f(x) = x^3, la dérivée seconde est f′′(x) = 6*x : négative à gauche de l’origine, positive à droite. La cubique se courbe vers le bas à gauche, vers le haut à droite, et change de concavité en x = 0 — ce changement est un point d’inflexion. La concavité complète le portrait de la forme d’une courbe une fois que la dérivée première a dit où elle monte et descend.

Points essentiels

• La dérivée f′(x) est le taux de variation instantané de f en x — la pente de la tangente.
• Dérivée positive = croissante, négative = décroissante, nulle = momentanément plate.
• Les points critiques (où f′ = 0 ou n’existe pas) sont les candidats aux maxima et minima locaux ; le changement de signe de f′ les classe.
• Une dérivée nulle ne marque pas toujours un extrême — x^3 a f′(0) = 0 mais continue de monter à travers un point d’inflexion.
• La dérivée seconde f′′ décrit la concavité : coupe vers le haut là où elle est positive, vers le bas là où elle est négative.

Questions fréquentes