Esempio svolto
Oscillazione smorzata: e^(-x/2) · cos(3x)
Una corda di chitarra pizzicata, una sospensione d’auto che rimbalza e un circuito RLC condividono tutti la stessa forma matematica: un’oscillazione la cui ampiezza decade nel tempo. Moltiplicare cos(3x) per l’esponenziale decrescente exp(-x/2) produce esattamente questo — ogni oscillazione è una frazione fissa della precedente.
Le due curve inviluppo, ±exp(-x/2), sono le "rotaie" tra cui viaggia l’oscillazione. L’onda tocca l’inviluppo superiore esattamente alle creste del coseno e quello inferiore ai suoi avvallamenti, e gli inviluppi stessi non oscillano mai. Questa separazione tra "quanto velocemente oscilla" (il coseno) e "quanto velocemente si estingue" (l’esponenziale) è il motivo per cui gli ingegneri analizzano i due fattori separatamente.
Espressioni tracciate
- y = exp(-x/2) * cos(3*x)
- y = exp(-x/2)
- y = -exp(-x/2)
Il link precarica queste esatte espressioni nella calcolatrice — non serve digitare.
Cosa notare
- L’oscillazione non esce mai dai suoi inviluppi esponenziali.
- Aumentare il 3 in cos(3x) concentra più oscillazioni nello stesso decadimento; aumentare l’1/2 nell’esponente spegne il moto più in fretta.
- Allontana lo zoom lungo l’asse x per guardare l’onda assestarsi verso zero — la firma matematica dello smorzamento.