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Funzione coseno
f(x) = cos(x)
Il gemello pari e ondulato del seno — il coseno parte dal suo picco e si ripete ogni 2π.
Il coseno è la controparte orizzontale del seno: sul cerchio unitario dà la coordinata x del punto all’angolo x, mentre il seno dà la coordinata y. Quella singola differenza modella tutto del suo grafico — parte dal suo valore massimo di 1 quando x = 0, scende a −1 in x = π e torna a 1 in x = 2π, tracciando la stessa onda liscia del seno ma spostata di un quarto di giro. Come il seno, oscilla per sempre tra −1 e 1 e si ripete ogni 2π radianti.
Il coseno compare ovunque qualcosa si proietti su un asse orizzontale o parta da un massimo: l’ombra di una ruota che gira, la tensione in un circuito AC misurata dal suo picco, o la coordinata x del moto circolare uniforme. Poiché cos(x) = sin(x + π/2), tutto ciò che puoi dire delle onde sinusoidali vale per le onde coseno con uno sfasamento — digita cos(x) nella calcolatrice e trascina la vista per guardarlo ripetersi.
Proprietà calcolate
Calcolate dal motore matematico della calcolatrice grafica al momento della build per cos(x) .
- Radici in [−10, 10]
- -7.8540, -4.7124, -1.5708, 1.5708, 4.7124, 7.8540
- Intercetta y f(0)
- 1.0000
- Estremi locali in [−10, 10]
-
- local minimum at (-9.4248, -1.0000)
- local maximum at (-6.2832, 1.0000)
- local minimum at (-3.1416, -1.0000)
- local maximum at (0.0000, 1.0000)
- local minimum at (3.1416, -1.0000)
- local maximum at (6.2832, 1.0000)
- …e altre 1
- Valori campione
- f(-2) = -0.4161 · f(-1) = 0.5403 · f(0) = 1 · f(1) = 0.5403 · f(2) = -0.4161
- Derivata f′(1)
- -0.8415
- Integrale ∫₀¹ f(x) dx
- 0.8415
Fatti chiave
- Dominio: tutti i numeri reali; codominio: −1 ≤ cos(x) ≤ 1.
- Periodo 2π: cos(x + 2π) = cos(x) per ogni x.
- Funzione pari: cos(−x) = cos(x); il grafico è simmetrico rispetto all’asse y.
- Zeri in x = π/2 + nπ; massimi di 1 in x = 2πn; minimi di −1 in x = π + 2πn.
- Intercetta y in (0, 1); la derivata è −sin(x); una primitiva è sin(x).
Cos’è il coseno
Immagina un punto che viaggia in senso antiorario sul cerchio unitario, partendo da (1, 0). All’angolo x la sua posizione è (cos x, sin x): il coseno traccia quanto a destra o a sinistra è il punto. In x = 0 il punto è all’estremo destro, quindi cos(0) = 1 — l’intercetta y del grafico. Man mano che l’angolo cresce il punto oscilla a sinistra, e il coseno scende lisciamente attraverso 0 in x = π/2 fino a −1 in x = π, l’estremo sinistro del cerchio.
Il coseno è una funzione pari, cos(−x) = cos(x), quindi il suo grafico è un’immagine speculare rispetto all’asse y: il lato sinistro riflette esattamente il destro. Attraversa lo zero in x = π/2 + nπ, a metà strada tra ciascun picco e avvallamento, e i suoi massimi di 1 occorrono in x = 2πn mentre i minimi di −1 in x = π + 2πn. La familiare forma d’onda viene dalla stessa geometria circolare del seno, vista di lato.
Coseno, seno e sfasamenti
L’identità cos(x) = sin(x + π/2) dice che le due funzioni sono un’unica onda vista da due punti di partenza: il coseno è come appare il seno un quarto di periodo prima. Questo conta quando si modellano oscillazioni reali, perché la scelta tra seno e coseno è solo una scelta di quando avvii l’orologio — una molla rilasciata da ferma alla massima estensione segue un coseno nel tempo, mentre una spinta attraverso l’equilibrio segue un seno.
Gli sfasamenti spiegano anche somme come sin(x) + cos(x): combinare due onde della stessa frequenza produce sempre un’altra onda di quella frequenza, qui √2·sin(x + π/4), un fatto che discende dalle formule di addizione degli angoli. Nella calcolatrice, traccia sin(x) e cos(x) insieme e aggiungi una terza espressione sin(x) + cos(x) per vedere la somma restare un’onda perfetta.
Dove compare il coseno
In fisica, il coseno descrive qualsiasi oscillazione misurata dal suo estremo: il moto armonico semplice x(t) = A·cos(ωt) per una massa rilasciata da ferma, la parte reale dell’esponenziale complesso e^(iθ) = cos θ + i·sin θ che è alla base dell’analisi dei circuiti AC e delle funzioni d’onda quantistiche, e le funzioni base pari delle serie di Fourier. Quando gli ingegneri scrivono un segnale periodico come somma di coseni, ciascun termine cattura la parte simmetrica dell’onda.
Il coseno compare anche lontano dalle onde. Il prodotto scalare di due vettori è |a||b|cos θ, dove θ è l’angolo tra loro, quindi il coseno misura l’allineamento: 1 per paralleli, 0 per perpendicolari, −1 per opposti. Il teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), generalizza Pitagora a qualsiasi triangolo.
Domande frequenti
Il coseno è solo un seno spostato?
Esattamente — cos(x) = sin(x + π/2), quindi il grafico del coseno è il grafico del seno spostato a sinistra di un quarto di periodo. Condividono stessa ampiezza, periodo e codominio; differisce solo il punto di partenza. Sul cerchio unitario sono le coordinate x e y dello stesso punto rotante.
Perché cos(0) = 1?
All’angolo 0 il punto rotante sul cerchio unitario si trova in (1, 0), l’estremo destro del cerchio, quindi la sua coordinata x — il coseno — è 1 e la sua coordinata y — il seno — è 0. È anche per questo che il grafico del coseno inizia dal suo picco.
Cosa c’entra il coseno con il prodotto scalare?
La formula del prodotto scalare a·b = |a||b|cos θ usa il coseno dell’angolo tra i vettori per misurare quanto puntano nella stessa direzione. Il coseno è 1 quando sono paralleli, 0 quando perpendicolari e −1 quando opposti — quindi agisce come un punteggio di allineamento tra −1 e 1.