Ausgearbeitetes Beispiel
Gedämpfte Schwingung: e^(-x/2) · cos(3x)
Eine gezupfte Gitarrensaite, eine federnde Autofederung und ein RLC-Schwingkreis teilen alle dieselbe mathematische Form: eine Schwingung, deren Amplitude mit der Zeit abklingt. Das Multiplizieren von cos(3x) mit der abklingenden Exponentialfunktion exp(-x/2) erzeugt genau das — jede Schwingung ist ein fester Bruchteil der vorherigen.
Die zwei Hüllkurven, ±exp(-x/2), sind die „Schienen“, zwischen denen die Schwingung fährt. Die Welle berührt die obere Hüllkurve exakt an den Wellenbergen des Kosinus und die untere an seinen Wellentälern, und die Hüllkurven selbst oszillieren niemals. Diese Trennung von „wie schnell sie wackelt“ (der Kosinus) und „wie schnell sie ausstirbt“ (die Exponentialfunktion) ist, warum Ingenieure die beiden Faktoren getrennt analysieren.
Gezeichnete Ausdrücke
- y = exp(-x/2) * cos(3*x)
- y = exp(-x/2)
- y = -exp(-x/2)
Der Link lädt genau diese Ausdrücke in den Rechner — Eintippen ist nicht nötig.
Worauf Sie achten sollten
- Die Schwingung kreuzt niemals außerhalb ihrer exponentiellen Hüllkurven.
- Das Erhöhen der 3 in cos(3x) packt mehr Schwingungen in dasselbe Abklingen; das Erhöhen der 1/2 im Exponenten tötet die Bewegung schneller.
- Zoomen Sie entlang der x-Achse heraus, um zu beobachten, wie sich die Welle gegen null beruhigt — die mathematische Signatur der Dämpfung.