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Funzione cubica
f(x) = x^3 - 3*x
Una cubica a forma di S con tre radici reali, una collina e una valle locali, e simmetria rotazionale di 180°.
La cubica f(x) = x³ − 3x traccia una S allungata: sale da −∞, raggiunge la cresta di una piccola collina in (−1, 2), scende attraverso l’origine in una valle in (1, −2) e si arrampica via verso +∞. A differenza di una parabola non ha massimo o minimo globale — il termine x³ alla fine travolge tutto, trascinando il braccio sinistro giù per sempre e quello destro su per sempre. Tra gli estremi, la curva attraversa l’asse x tre volte, in −√3, 0 e √3.
Questa particolare cubica è una favorita nei libri di testo perché tutto di essa si può calcolare a mano: le sue radici si fattorizzano via x(x² − 3), i suoi punti di svolta vengono dalla pulita derivata 3x² − 3, e nasconde una bellissima connessione con la trigonometria dell’angolo triplo. Le cubiche modellano la crescita dei volumi, le equazioni di stato cubiche e qualsiasi relazione in cui conta il cubo di una quantità. Traccia x^3 - 3*x nella calcolatrice e allontana lo zoom per vedere la S raddrizzarsi nel suo ripido comportamento agli estremi.
Proprietà calcolate
Calcolate dal motore matematico della calcolatrice grafica al momento della build per x^3 - 3*x .
- Radici in [−10, 10]
- -1.7321, 0.0000, 1.7321
- Intercetta y f(0)
- 0.0000
- Estremi locali in [−10, 10]
-
- local maximum at (-1.0000, 2.0000)
- local minimum at (1.0000, -2.0000)
- Valori campione
- f(-2) = -2 · f(-1) = 2 · f(0) = 0 · f(1) = -2 · f(2) = 2
- Derivata f′(1)
- 0.0000
- Integrale ∫₀¹ f(x) dx
- -1.2500
Fatti chiave
- Fattorizzata: x(x − √3)(x + √3); tre radici reali in x = −√3, 0 e √3.
- Massimo locale in (−1, 2); minimo locale in (1, −2); nessun max o min globale.
- Punto di flesso in (0, 0); funzione dispari con simmetria rotazionale di 180° attorno all’origine.
- Dominio e codominio: tutti i numeri reali.
- Comportamento agli estremi: f(x) → −∞ mentre x → −∞ e f(x) → +∞ mentre x → +∞.
- Identità: con x = 2cos θ, x³ − 3x = 2cos(3θ).
Cos’è questa cubica
Raccogli x e le radici appaiono: x³ − 3x = x(x² − 3) = x(x − √3)(x + √3), quindi il grafico attraversa l’asse x in −√3 ≈ −1.732, 0 e √3 ≈ 1.732. Tre radici reali è il massimo che una cubica può mostrare come attraversamenti distinti — il grado della funzione fissa il massimo. Tra radici consecutive la curva deve girarsi, ed è esattamente ciò che fanno la collina e la valle.
Il comportamento agli estremi è dettato dal solo x³: mentre x → +∞ la funzione → +∞, e mentre x → −∞ essa → −∞. Il termine −3x modella solo il centro del grafico, scavando l’oscillazione. Ogni polinomio di grado dispari condivide questo comportamento a estremi opposti, che garantisce almeno una radice reale — la curva deve attraversare l’asse per andare da −∞ a +∞.
Punti di svolta e punto di flesso
La derivata f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) si annulla in x = ±1, segnando i due punti di svolta: un massimo locale in (−1, 2) e un minimo locale in (1, −2). La funzione sale fino a x = −1, scende fino a x = 1, poi sale per sempre — il classico su-giù-su di una cubica con due punti critici. Questi sono solo estremi locali; il comportamento globale è illimitato in entrambe le direzioni.
A metà strada tra loro, in (0, 0), siede il punto di flesso, dove la curva cambia da concava verso il basso a concava verso l’alto. La derivata seconda f″(x) = 6x lo conferma: negativa a sinistra di 0, positiva a destra di 0, zero esattamente nell’origine. Poiché la cubica è una funzione dispari, il punto di flesso è anche il centro della sua simmetria rotazionale di 180° — ruota il grafico di mezzo giro attorno a (0, 0) e si mappa su sé stesso.
Un’identità trigonometrica nascosta
Ecco la sorpresa per cui questa cubica è famosa: sostituendo x = 2cos θ si ottiene x³ − 3x = 2cos(3θ). Puoi verificarlo dalla formula dell’angolo triplo cos(3θ) = 4cos³θ − 3cos θ: con x = 2cos θ, il lato sinistro diventa 8cos³θ − 6cos θ = 2(4cos³θ − 3cos θ) = 2cos(3θ). La cubica è segretamente un angolo triplicato sotto mentite spoglie.
Questa identità è più di una curiosità — è la chiave per risolvere trigonometricamente le equazioni cubiche. Una cubica con tre radici reali, come questa, può essere risolta scrivendo le sue radici come coseni scalati di angoli opportuni, un metodo che risale a Viète. Spiega anche perché la collina e la valle hanno le altezze esatte ±2: sono 2cos(3θ) valutato ai suoi stessi picchi.
Domande frequenti
Perché x³ − 3x attraversa l’asse x tre volte?
La sua forma fattorizzata x(x − √3)(x + √3) mostra tre fattori lineari distinti, ciascuno con uno zero: x = 0, x = √3 e x = −√3. Un polinomio di grado 3 può avere al massimo tre radici reali, e questo raggiunge il massimo. Tra ciascuna coppia di radici i punti di svolta della derivata costringono la curva a invertire direzione.
Quali sono il max e il min locale?
Risolvi f′(x) = 3x² − 3 = 0 per ottenere x = ±1. Poi f(−1) = −1 + 3 = 2 è il massimo locale e f(1) = 1 − 3 = −2 è il minimo locale. Sono “locali” perché la funzione supera qualsiasi limite molto a destra e scende sotto qualsiasi limite molto a sinistra.
Cosa c’entra questa cubica con la trigonometria?
L’identità x³ − 3x = 2cos(3θ) sotto la sostituzione x = 2cos θ lega la cubica alle formule dell’angolo triplo. Storicamente questa connessione diede un metodo trigonometrico per risolvere le cubiche con tre radici reali — il “casus irreducibilis” che lasciò perplessi gli algebristi del XVI secolo.