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Kubische Funktion

f(x) = x^3 - 3*x

Eine S-förmige Kubik mit drei reellen Nullstellen, einem lokalen Berg und Tal und 180°-Drehsymmetrie.

Die Kubik f(x) = x³ − 3x zeichnet ein gestrecktes S: Sie steigt von −∞ auf, krönt einen kleinen Hügel bei (−1, 2), taucht durch den Ursprung in ein Tal bei (1, −2) und klettert nach +∞ davon. Anders als eine Parabel hat sie kein globales Maximum oder Minimum — der x³-Term überwältigt schließlich alles, zieht den linken Arm ewig nach unten und den rechten Arm ewig nach oben. Zwischen den Extremen kreuzt die Kurve die x-Achse dreimal, bei −√3, 0 und √3.

Diese besondere Kubik ist ein Liebling der Lehrbücher, weil sich alles an ihr von Hand berechnen lässt: Ihre Nullstellen faktorisieren über x(x² − 3), ihre Extrempunkte kommen aus der sauberen Ableitung 3x² − 3, und sie verbirgt eine wunderschöne Verbindung zur Dreifachwinkel-Trigonometrie. Kubiken modellieren Volumenwachstum, kubische Zustandsgleichungen und jede Beziehung, wo der Kubus einer Größe zählt. Zeichnen Sie x^3 - 3*x im Rechner und zoomen Sie heraus, um zu sehen, wie sich das S in sein steiles Endverhalten geradezieht.

Berechnete Eigenschaften

Zur Build-Zeit von der eigenen Rechen-Engine des Grafikrechners berechnet für x^3 - 3*x .

Nullstellen in [−10, 10]: -1.7321, 0.0000, 1.7321
y-Achsenabschnitt f(0): 0.0000
Lokale Extremstellen in [−10, 10]: local maximum at (-1.0000, 2.0000)
local minimum at (1.0000, -2.0000)
Stichprobenwerte: f(-2) = -2 · f(-1) = 2 · f(0) = 0 · f(1) = -2 · f(2) = 2
Ableitung f′(1): 0.0000
Integral ∫₀¹ f(x) dx: -1.2500

Wichtige Fakten

Faktorisiert: x(x − √3)(x + √3); drei reelle Nullstellen bei x = −√3, 0 und √3.
Lokales Maximum bei (−1, 2); lokales Minimum bei (1, −2); kein globales Max oder Min.
Wendepunkt bei (0, 0); ungerade Funktion mit 180°-Drehsymmetrie um den Ursprung.
Definitions- und Wertebereich: alle reellen Zahlen.
Endverhalten: f(x) → −∞ für x → −∞ und f(x) → +∞ für x → +∞.
Identität: Mit x = 2cos θ gilt x³ − 3x = 2cos(3θ).

Was diese Kubik ist

Klammern Sie x aus, und die Nullstellen erscheinen: x³ − 3x = x(x² − 3) = x(x − √3)(x + √3), sodass der Graph die x-Achse bei −√3 ≈ −1,732, 0 und √3 ≈ 1,732 kreuzt. Drei reelle Nullstellen sind das meiste, was eine Kubik als einzelne Kreuzungen zeigen kann — der Grad der Funktion setzt das Maximum. Zwischen aufeinanderfolgenden Nullstellen muss die Kurve umkehren, was genau Hügel und Tal tun.

Das Endverhalten wird allein von x³ diktiert: Wenn x → +∞, dann → +∞, und wenn x → −∞, dann → −∞. Der −3x-Term formt nur die Mitte des Graphen und meißelt die Schlängelung heraus. Jedes Polynom ungeraden Grades teilt dieses Gegensätze-Enden-Verhalten, das mindestens eine reelle Nullstelle garantiert — die Kurve muss die Achse kreuzen, um von −∞ nach +∞ zu gelangen.

Extrempunkte und der Wendepunkt

Die Ableitung f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) verschwindet bei x = ±1 und markiert die zwei Extrempunkte: ein lokales Maximum bei (−1, 2) und ein lokales Minimum bei (1, −2). Die Funktion steigt bis x = −1, fällt bis x = 1, steigt dann ewig — das klassische Auf-Ab-Auf einer Kubik mit zwei kritischen Punkten. Das sind nur lokale Extreme; das globale Verhalten ist beidseitig unbeschränkt.

Auf halbem Weg dazwischen, bei (0, 0), sitzt der Wendepunkt, wo die Kurve von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt wechselt. Die zweite Ableitung f″(x) = 6x bestätigt es: negativ links von 0, positiv rechts von 0, exakt null am Ursprung. Weil die Kubik eine ungerade Funktion ist, ist der Wendepunkt auch das Zentrum ihrer 180°-Drehsymmetrie — drehen Sie den Graphen eine halbe Umdrehung um (0, 0), bildet er sich auf sich selbst ab.

Eine verborgene trigonometrische Identität

Hier ist die Überraschung, für die diese Kubik berühmt ist: Das Einsetzen von x = 2cos θ ergibt x³ − 3x = 2cos(3θ). Man kann es aus der Dreifachwinkelformel cos(3θ) = 4cos³θ − 3cos θ verifizieren: Mit x = 2cos θ wird die linke Seite zu 8cos³θ − 6cos θ = 2(4cos³θ − 3cos θ) = 2cos(3θ). Die Kubik ist heimlich ein verdreifachter Winkel in Verkleidung.

Diese Identität ist mehr als eine Kuriosität — sie ist der Schlüssel zum trigonometrischen Lösen kubischer Gleichungen. Eine Kubik mit drei reellen Nullstellen, wie diese, lässt sich lösen, indem man ihre Nullstellen als skalierte Kosinus geeigneter Winkel schreibt, eine Methode, die auf Viète zurückgeht. Sie erklärt auch, warum Hügel und Tal die exakten Höhen ±2 haben: Sie sind 2cos(3θ), ausgewertet an seinen eigenen Gipfeln.

f(x) = x^3 - 3*x im Rechner zeichnen

Häufig gestellte Fragen

Warum kreuzt x³ − 3x die x-Achse dreimal?

Ihre faktorisierte Form x(x − √3)(x + √3) zeigt drei verschiedene lineare Faktoren, von denen jeder eine Nullstelle beisteuert: x = 0, x = √3 und x = −√3. Ein Polynom dritten Grades kann höchstens drei reelle Nullstellen haben, und dieses erreicht das Maximum. Zwischen jedem Nullstellenpaar zwingen die lokalen Extrema der Funktion die Kurve zur Richtungsumkehr.

Was sind das lokale Max und Min?

Lösen Sie f′(x) = 3x² − 3 = 0, um x = ±1 zu erhalten. Dann ist f(−1) = −1 + 3 = 2 das lokale Maximum und f(1) = 1 − 3 = −2 das lokale Minimum. Sie sind „lokal“, weil die Funktion weit rechts jede Schranke überschreitet und weit links unter jede Schranke fällt.

Was hat diese Kubik mit Trigonometrie zu tun?

Die Identität x³ − 3x = 2cos(3θ) unter der Substitution x = 2cos θ verknüpft die Kubik mit Dreifachwinkelformeln. Historisch gab diese Verbindung eine trigonometrische Methode zum Lösen von Kubiken mit drei reellen Nullstellen — den „casus irreducibilis“, der die Algebraiker des 16. Jahrhunderts rätseln ließ.