Che cos’è una funzione? Una guida semplice

La definizione di funzione

Formalmente, una funzione f da un insieme A a un insieme B assegna a ogni elemento x di A esattamente un elemento y di B, scritto y = f(x). La parola chiave è esattamente uno: un input non può mai produrre due output diversi. Un distributore automatico è un’utile analogia — premi B4 e ottieni sempre lo stesso articolo, mai a caso uno o l’altro.

Ciò che una funzione NON può fare è importante quanto ciò che può fare. Il cerchio x² + y² = 1 non è una funzione di x, perché l’input x = 0 dà due output, y = 1 e y = −1. Il test della retta verticale lo rileva istantaneamente: se una retta verticale tocca un grafico in più di un punto, quel grafico non è una funzione. Il cerchio fallisce il test; la parabola y = x² lo supera.

Notazione: leggere f(x)

La notazione f(x) si legge “f di x” — NON “f per x”. La f nomina la regola, la x è l’input che stai inserendo. Quindi se f(x) = x² + 1, allora f(3) significa “applica la regola a 3”, dando 3² + 1 = 10. Le lettere sono arbitrarie: g(t) = 2t è la stessa idea con una regola diversa chiamata g e una variabile diversa chiamata t.

Pensa a f come a una macchina: la materia prima x entra, gli ingranaggi della formula girano, e il prodotto y esce. Comporre macchine dà la composizione di funzioni — g(f(x)) significa far passare x prima attraverso f e poi attraverso g — che è come le formule complesse sono costruite da quelle semplici. Nella calcolatrice puoi tracciare f(x) = x^2 + 1 e g(x) = 2*x separatamente, poi tracciare g(x^2+1) per vedere la composizione.

Dominio e codominio

Il dominio è l’insieme di tutti gli input che una funzione accetta — gli ingredienti che la macchina può gestire. Per f(x) = √x il dominio è x ≥ 0, perché nessun numero reale al quadrato dà un negativo; chiedere √(−4) sui reali è come chiedere a un distributore un articolo che non ha. Per f(x) = 1/x il dominio esclude lo 0, perché la divisione per zero è indefinita.

Il codominio è l’insieme di tutti gli output possibili. Per f(x) = x² il codominio è y ≥ 0 — gli output non sono mai negativi, per quanto l’input sia grande o piccolo. Tracciare il grafico rende entrambi visibili: il dominio è quanta parte dell’asse x è coperta dalla curva, il codominio è quanta parte dell’asse y. La V di |x| copre tutta la x ma solo la metà superiore della y.

Funzioni ovunque intorno a te

Le funzioni modellano il mondo perché il mondo è pieno di relazioni input-output. L’altezza di una palla lanciata è una funzione del tempo trascorso dal lancio; la bolletta elettrica è una funzione dei kilowattora consumati; la posizione di un’ombra è una funzione dell’ora del giorno. Ciascuna prende un input e restituisce esattamente un output — la firma di una funzione.

In informatica ogni subroutine è una funzione in questo senso: stessi argomenti, stesso valore restituito (quando è pura). Le reti neurali sono gigantesche funzioni composte — milioni di semplici regole incatenate — che mappano pixel in etichette o parole in risposte. Riconoscere lo schema input-output è il primo passo per leggere la matematica dietro la tecnologia.

Punti chiave

• Una funzione assegna a ogni input esattamente un output — un input, un output, sempre.
• f(x) si legge “f di x”: f nomina la regola, x è l’input inserito.
• Il test della retta verticale: un grafico è una funzione se ogni retta verticale lo tocca al massimo una volta.
• Il dominio è l’insieme degli input consentiti; il codominio è l’insieme degli output possibili.
• La composizione incatena le funzioni: g(f(x)) fa passare x prima attraverso f e poi attraverso g.

Domande frequenti