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Función cúbica
f(x) = x^3 - 3*x
Una cúbica en forma de S con tres raíces reales, una colina y un valle locales, y simetría rotacional de 180°.
La cúbica f(x) = x³ − 3x traza una S alargada: sube desde −∞, corona una pequeña colina en (−1, 2), desciende por el origen hasta un valle en (1, −2) y se aleja trepando hacia +∞. A diferencia de una parábola no tiene máximo ni mínimo global: el término x³ termina dominando todo, arrastrando el brazo izquierdo hacia abajo eternamente y el derecho hacia arriba eternamente. Entre los extremos, la curva cruza el eje x tres veces, en −√3, 0 y √3.
Esta cúbica en particular es una favorita de los libros de texto porque todo en ella se puede calcular a mano: sus raíces se factorizan con x(x² − 3), sus puntos de giro vienen de la limpia derivada 3x² − 3, y esconde una hermosa conexión con la trigonometría del ángulo triple. Las cúbicas modelan el crecimiento de volúmenes, ecuaciones cúbicas de estado y cualquier relación donde importa el cubo de una cantidad. Grafica x^3 - 3*x en la calculadora y aleja la vista para ver cómo la S se endereza en su comportamiento final.
Propiedades calculadas
Calculado por el propio motor matemático de la calculadora gráfica al generar esta página para x^3 - 3*x .
- Raíces en [−10, 10]
- -1.7321, 0.0000, 1.7321
- Intersección con el eje y f(0)
- 0.0000
- Extremos locales en [−10, 10]
-
- local maximum at (-1.0000, 2.0000)
- local minimum at (1.0000, -2.0000)
- Valores de muestra
- f(-2) = -2 · f(-1) = 2 · f(0) = 0 · f(1) = -2 · f(2) = 2
- Derivada f′(1)
- 0.0000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- -1.2500
Datos clave
- Factorizada: x(x − √3)(x + √3); tres raíces reales en x = −√3, 0 y √3.
- Máximo local en (−1, 2); mínimo local en (1, −2); sin máximo ni mínimo global.
- Punto de inflexión en (0, 0); función impar con simetría rotacional de 180° sobre el origen.
- Dominio y rango: todos los números reales.
- Comportamiento final: f(x) → −∞ cuando x → −∞ y f(x) → +∞ cuando x → +∞.
- Identidad: con x = 2cos θ, x³ − 3x = 2cos(3θ).
Qué es esta cúbica
Saca factor común x y aparecen las raíces: x³ − 3x = x(x² − 3) = x(x − √3)(x + √3), así que la gráfica cruza el eje x en −√3 ≈ −1.732, 0 y √3 ≈ 1.732. Tres raíces reales es lo máximo que una cúbica puede mostrar como cruces distintos: el grado de la función fija el máximo. Entre raíces consecutivas la curva debe dar la vuelta, que es exactamente lo que hacen la colina y el valle.
El comportamiento final lo dicta solo x³: cuando x → +∞ la función → +∞, y cuando x → −∞ la función → −∞. El término −3x solo moldea el centro de la gráfica, tallando la ondulación. Todo polinomio de grado impar comparte este comportamiento de extremos opuestos, lo que garantiza al menos una raíz real: la curva debe cruzar el eje para ir de −∞ a +∞.
Puntos de giro y punto de inflexión
La derivada f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) se anula en x = ±1, marcando los dos puntos de giro: un máximo local en (−1, 2) y un mínimo local en (1, −2). La función sube hasta x = −1, baja hasta x = 1 y luego sube eternamente: el clásico subir-bajar-subir de una cúbica con dos puntos críticos. Estos son solo extremos locales; el comportamiento global no está acotado en ninguna dirección.
A medio camino entre ellos, en (0, 0), está el punto de inflexión, donde la curva cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. La segunda derivada f″(x) = 6x lo confirma: negativa a la izquierda de 0, positiva a la derecha de 0, cero exactamente en el origen. Como la cúbica es una función impar, el punto de inflexión es también el centro de su simetría rotacional de 180°: rota la gráfica media vuelta sobre (0, 0) y coincide consigo misma.
Una identidad trigonométrica oculta
Aquí está la sorpresa por la que esta cúbica es famosa: sustituir x = 2cos θ da x³ − 3x = 2cos(3θ). Puedes verificarlo con la fórmula del ángulo triple cos(3θ) = 4cos³θ − 3cos θ: con x = 2cos θ, el lado izquierdo se convierte en 8cos³θ − 6cos θ = 2(4cos³θ − 3cos θ) = 2cos(3θ). La cúbica es en secreto un ángulo triplicado disfrazado.
Esta identidad es más que una curiosidad: es la clave para resolver ecuaciones cúbicas trigonométricamente. Una cúbica con tres raíces reales, como esta, se puede resolver escribiendo sus raíces como cosenos escalados de ángulos adecuados, un método que se remonta a Viète. También explica por qué la colina y el valle tienen las alturas exactas ±2: son 2cos(3θ) evaluado en sus propios picos.
Preguntas frecuentes
¿Por qué x³ − 3x cruza el eje x tres veces?
Su forma factorizada x(x − √3)(x + √3) muestra tres factores lineales distintos, cada uno aportando un cero: x = 0, x = √3 y x = −√3. Un polinomio de grado 3 puede tener como máximo tres raíces reales, y este alcanza el máximo. Entre cada par de raíces, los puntos de giro de la derivada obligan a la curva a cambiar de dirección.
¿Cuáles son el máximo y el mínimo locales?
Resuelve f′(x) = 3x² − 3 = 0 para obtener x = ±1. Entonces f(−1) = −1 + 3 = 2 es el máximo local y f(1) = 1 − 3 = −2 es el mínimo local. Son «locales» porque la función supera cualquier cota lejos a la derecha y cae por debajo de cualquier cota lejos a la izquierda.
¿Qué tiene que ver esta cúbica con la trigonometría?
La identidad x³ − 3x = 2cos(3θ) bajo la sustitución x = 2cos θ vincula la cúbica con las fórmulas del ángulo triple. Históricamente esta conexión dio un método trigonométrico para resolver cúbicas con tres raíces reales: el «casus irreducibilis» que desconcertó a los algebristas del siglo XVI.