Biblioteca de funções

Função Cúbica

f(x) = x^3 - 3*x

Uma cúbica em forma de S com três raízes reais, uma colina e um vale locais e simetria rotacional de 180°.

A cúbica f(x) = x³ − 3x traça um S alongado: sobe de −∞, atinge uma pequena colina em (−1, 2), mergulha passando pela origem até um vale em (1, −2) e sobe em direção a +∞. Ao contrário de uma parábola, não tem máximo nem mínimo global — o termo x³ acaba dominando tudo, arrastando o braço esquerdo para baixo para sempre e o braço direito para cima para sempre. Entre os extremos, a curva cruza o eixo x três vezes, em −√3, 0 e √3.

Esta cúbica em particular é uma favorita nos livros-texto porque tudo nela pode ser calculado à mão: suas raízes se fatoram via x(x² − 3), seus pontos de virada vêm da derivada limpa 3x² − 3, e ela esconde uma bela conexão com a trigonometria do ângulo triplo. As cúbicas modelam crescimento de volume, equações de estado cúbicas e qualquer relação em que o cubo de uma quantidade importe. Plote x^3 - 3*x na calculadora e afaste o zoom para ver o S se endireitar no seu comportamento final.

Propriedades calculadas

Calculado pelo próprio motor matemático da calculadora gráfica em tempo de construção para x^3 - 3*x .

Raízes em [−10, 10]: -1.7321, 0.0000, 1.7321
Interseção com o eixo y f(0): 0.0000
Extremos locais em [−10, 10]: local maximum at (-1.0000, 2.0000)
local minimum at (1.0000, -2.0000)
Valores de amostra: f(-2) = -2 · f(-1) = 2 · f(0) = 0 · f(1) = -2 · f(2) = 2
Derivada f′(1): 0.0000
Integral ∫₀¹ f(x) dx: -1.2500

Fatos principais

Fatorada: x(x − √3)(x + √3); três raízes reais em x = −√3, 0 e √3.
Máximo local em (−1, 2); mínimo local em (1, −2); sem máximo ou mínimo global.
Ponto de inflexão em (0, 0); função ímpar com simetria rotacional de 180° em torno da origem.
Domínio e imagem: todos os números reais.
Comportamento final: f(x) → −∞ quando x → −∞ e f(x) → +∞ quando x → +∞.
Identidade: com x = 2cos θ, x³ − 3x = 2cos(3θ).

O que é esta cúbica

Colocando x em evidência, as raízes aparecem: x³ − 3x = x(x² − 3) = x(x − √3)(x + √3), de modo que o gráfico cruza o eixo x em −√3 ≈ −1,732, 0 e √3 ≈ 1,732. Três raízes reais é o máximo que uma cúbica pode exibir como cruzamentos distintos — o grau da função define o máximo. Entre raízes consecutivas, a curva precisa dar a volta, que é exatamente o que a colina e o vale fazem.

O comportamento final é ditado apenas por x³: quando x → +∞, a função → +∞, e quando x → −∞, ela → −∞. O termo −3x apenas molda o meio do gráfico, esculpindo a ondulação. Todo polinômio de grau ímpar compartilha esse comportamento de extremidades opostas, que garante pelo menos uma raiz real — a curva precisa cruzar o eixo para ir de −∞ a +∞.

Pontos de virada e o ponto de inflexão

A derivada f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) se anula em x = ±1, marcando os dois pontos de virada: um máximo local em (−1, 2) e um mínimo local em (1, −2). A função sobe até x = −1, desce até x = 1 e depois sobe para sempre — o clássico sobe-desce-sobe de uma cúbica com dois pontos críticos. Estes são apenas extremos locais; o comportamento global é ilimitado em ambas as direções.

No meio do caminho entre eles, em (0, 0), está o ponto de inflexão, onde a curva muda de côncava para baixo para côncava para cima. A segunda derivada f″(x) = 6x confirma: negativa à esquerda de 0, positiva à direita de 0, zero exatamente na origem. Como a cúbica é uma função ímpar, o ponto de inflexão também é o centro de sua simetria rotacional de 180° — gire o gráfico meia volta em torno de (0, 0) e ele se mapeia sobre si mesmo.

Uma identidade trigonométrica escondida

Eis a surpresa que tornou esta cúbica famosa: substituir x = 2cos θ dá x³ − 3x = 2cos(3θ). Você pode verificá-la a partir da fórmula do ângulo triplo cos(3θ) = 4cos³θ − 3cos θ: com x = 2cos θ, o lado esquerdo vira 8cos³θ − 6cos θ = 2(4cos³θ − 3cos θ) = 2cos(3θ). A cúbica é secretamente um ângulo triplicado disfarçado.

Esta identidade é mais que uma curiosidade — é a chave para resolver equações cúbicas trigonometricamente. Uma cúbica com três raízes reais, como esta, pode ser resolvida escrevendo suas raízes como cossenos escalados de ângulos adequados, método que remonta a Viète. Também explica por que a colina e o vale têm exatamente as alturas ±2: são 2cos(3θ) avaliado nos seus próprios picos.

Represente f(x) = x^3 - 3*x na calculadora

Perguntas frequentes

Por que x³ − 3x cruza o eixo x três vezes?

Sua forma fatorada x(x − √3)(x + √3) mostra três fatores lineares distintos, cada um contribuindo com um zero: x = 0, x = √3 e x = −√3. Um polinômio de grau 3 pode ter no máximo três raízes reais, e este atinge o máximo. Entre cada par de raízes, os pontos de virada da derivada forçam a curva a inverter a direção.

Quais são o máximo e o mínimo locais?

Resolva f′(x) = 3x² − 3 = 0 para obter x = ±1. Então f(−1) = −1 + 3 = 2 é o máximo local e f(1) = 1 − 3 = −2 é o mínimo local. Eles são “locais” porque a função excede qualquer limite bem à direita e cai abaixo de qualquer limite bem à esquerda.

O que esta cúbica tem a ver com trigonometria?

A identidade x³ − 3x = 2cos(3θ), sob a substituição x = 2cos θ, liga a cúbica às fórmulas do ângulo triplo. Historicamente, essa conexão deu um método trigonométrico para resolver cúbicas com três raízes reais — o “casus irreducibilis” que intrigou os algebristas do século XVI.