Bibliothèque de fonctions
Fonction du troisième degré
f(x) = x^3 - 3*x
Une fonction cubique en S avec trois racines réelles, une colline et une vallée locales, et une symétrie centrale de 180°.
La fonction cubique f(x) = x³ − 3x trace un S allongé : elle monte depuis −∞, couronne une petite colline en (−1, 2), plonge à travers l’origine dans une vallée en (1, −2), et grimpe vers +∞. Contrairement à une parabole, elle n’a ni maximum ni minimum global — le terme x³ finit par tout écraser, tirant le bras gauche vers le bas pour toujours et le bras droit vers le haut pour toujours. Entre les extrêmes, la courbe traverse l’axe des x trois fois, en −√3, 0 et √3.
Cette cubique particulière est une favorite des manuels car tout en elle se calcule à la main : ses racines se factorisent via x(x² − 3), ses points de retournement viennent de la dérivée propre 3x² − 3, et elle cache une belle connexion avec la trigonométrie des angles triples. Les cubiques modélisent la croissance des volumes, les équations d’état cubiques, et toute relation où le cube d’une quantité compte. Tracez x^3 - 3*x dans la calculatrice et dézoomez pour voir le S se redresser vers son comportement aux extrêmes.
Propriétés calculées
Calculé par le moteur mathématique propre à la calculatrice graphique au moment de la compilation pour x^3 - 3*x .
- Racines dans [−10, 10]
- -1.7321, 0.0000, 1.7321
- Intersection avec l’axe y f(0)
- 0.0000
- Extrémums locaux dans [−10, 10]
-
- local maximum at (-1.0000, 2.0000)
- local minimum at (1.0000, -2.0000)
- Valeurs échantillons
- f(-2) = -2 · f(-1) = 2 · f(0) = 0 · f(1) = -2 · f(2) = 2
- Dérivée f′(1)
- 0.0000
- Intégrale ∫₀¹ f(x) dx
- -1.2500
Faits essentiels
- Factorisée : x(x − √3)(x + √3) ; trois racines réelles en x = −√3, 0 et √3.
- Maximum local en (−1, 2) ; minimum local en (1, −2) ; ni max ni min global.
- Point d’inflexion en (0, 0) ; fonction impaire à symétrie centrale de 180° autour de l’origine.
- Domaine et ensemble d’arrivée : tous les réels.
- Comportement aux extrêmes : f(x) → −∞ quand x → −∞ et f(x) → +∞ quand x → +∞.
- Identité : avec x = 2cos θ, x³ − 3x = 2cos(3θ).
Ce qu’est cette fonction cubique
Factorisez x et les racines apparaissent : x³ − 3x = x(x² − 3) = x(x − √3)(x + √3) : le graphe traverse donc l’axe des x en −√3 ≈ −1,732, 0 et √3 ≈ 1,732. Trois racines réelles, c’est le maximum de croisements distincts qu’une cubique peut afficher — le degré de la fonction fixe le maximum. Entre deux racines consécutives, la courbe doit faire demi-tour : c’est exactement ce que font la colline et la vallée.
Le comportement aux extrêmes est dicté par x³ seul : quand x → +∞, la fonction → +∞, et quand x → −∞, elle → −∞. Le terme −3x ne façonne que le milieu du graphe, y creusant l’ondulation. Tout polynôme de degré impair partage ce comportement d’extrémités opposées, qui garantit au moins une racine réelle — la courbe doit traverser l’axe pour aller de −∞ à +∞.
Points de retournement et point d’inflexion
La dérivée f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) s’annule en x = ±1, marquant les deux points de retournement : un maximum local en (−1, 2) et un minimum local en (1, −2). La fonction monte jusqu’à x = −1, descend jusqu’à x = 1, puis monte pour toujours — le classique haut-bas-haut d’une cubique à deux points critiques. Ce ne sont que des extrêmes locaux ; le comportement global est non borné des deux côtés.
À mi-chemin entre eux, en (0, 0), se trouve le point d’inflexion, où la courbe passe de concave vers le bas à concave vers le haut. La dérivée seconde f″(x) = 6x le confirme : négative à gauche de 0, positive à droite de 0, nulle exactement à l’origine. Comme la cubique est une fonction impaire, le point d’inflexion est aussi le centre de sa symétrie centrale de 180° — pivotez le graphe d’un demi-tour autour de (0, 0) et il se superpose à lui-même.
Une identité trigonométrique cachée
Voici la surprise qui a rendu cette cubique célèbre : substituer x = 2cos θ donne x³ − 3x = 2cos(3θ). On peut le vérifier avec la formule de l’angle triple cos(3θ) = 4cos³θ − 3cos θ : avec x = 2cos θ, le membre de gauche devient 8cos³θ − 6cos θ = 2(4cos³θ − 3cos θ) = 2cos(3θ). La cubique est secrètement un angle triplé déguisé.
Cette identité est plus qu’une curiosité — c’est la clé de la résolution trigonométrique des équations cubiques. Une cubique à trois racines réelles, comme celle-ci, peut se résoudre en écrivant ses racines comme des cosinus mis à l’échelle d’angles appropriés, une méthode qui remonte à Viète. Elle explique aussi pourquoi la colline et la vallée ont exactement les hauteurs ±2 : ce sont 2cos(3θ) évalué à ses propres sommets.
Questions fréquentes
Pourquoi x³ − 3x traverse-t-elle l’axe des x trois fois ?
Sa forme factorisée x(x − √3)(x + √3) montre trois facteurs linéaires distincts, chacun apportant un zéro : x = 0, x = √3 et x = −√3. Un polynôme de degré 3 peut avoir au plus trois racines réelles, et celui-ci atteint le maximum. Entre chaque paire de racines, les points de retournement de la dérivée forcent la courbe à inverser sa direction.
Quels sont le max et le min locaux ?
Résolvez f′(x) = 3x² − 3 = 0 pour obtenir x = ±1. Alors f(−1) = −1 + 3 = 2 est le maximum local et f(1) = 1 − 3 = −2 est le minimum local. Ils sont « locaux » parce que la fonction dépasse toute borne loin vers la droite et chute sous toute borne loin vers la gauche.
Quel est le rapport entre cette cubique et la trigonométrie ?
L’identité x³ − 3x = 2cos(3θ) sous la substitution x = 2cos θ relie la cubique aux formules d’angles triples. Historiquement, cette connexion a donné une méthode trigonométrique pour résoudre les cubiques à trois racines réelles — le « casus irreducibilis » qui intrigua les algébristes du XVIe siècle.