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Quadratische Funktion

f(x) = x^2 - 4

Die Parabel x² − 4: eine U-förmige Kurve mit Nullstellen bei ±2 und ihrem Tiefpunkt bei (0, −4).

Die quadratische Funktion f(x) = x² − 4 ist die einfachste Parabel, bei der etwas Interessantes passiert: Sie kreuzt die x-Achse zweimal, taucht darunter und kehrt an einem einzigen Tiefpunkt um. Das Quadrieren macht jede Eingabe nicht-negativ, sodass x² bei x = 0 am kleinsten ist, und das Subtrahieren von 4 schiebt die ganze U-Form vier Einheiten nach unten. Das Ergebnis ist eine symmetrische Kurve mit Scheitel bei (0, −4), die sich für immer nach oben öffnet.

Parabeln sind die Arbeitstiere der Algebra: Sie modellieren alles, wo eine Größe vom Quadrat einer anderen abhängt — die Fläche eines Quadrats, die Höhe eines geworfenen Balls über die Zeit, den Gewinn eines Unternehmens mit linearer Nachfrage. Das Beispiel x² − 4 ist besonders lehrreich, weil es sauber als (x − 2)(x + 2) faktorisiert, sodass seine x-Achsenabschnitte bei 2 und −2 direkt aus der Algebra ablesbar sind. Zeichnen Sie es im Rechner und beobachten Sie die Symmetrie zur y-Achse.

Berechnete Eigenschaften

Zur Build-Zeit von der eigenen Rechen-Engine des Grafikrechners berechnet für x^2 - 4 .

Nullstellen in [−10, 10]: -2.0000, 2.0000
y-Achsenabschnitt f(0): -4.0000
Lokale Extremstellen in [−10, 10]: local minimum at (0.0000, -4.0000)
Stichprobenwerte: f(-2) = 0 · f(-1) = -3 · f(0) = -4 · f(1) = -3 · f(2) = 0
Ableitung f′(1): 2.0000
Integral ∫₀¹ f(x) dx: -3.6667

Wichtige Fakten

Faktorisierte Form: x² − 4 = (x − 2)(x + 2); Nullstellen (x-Achsenabschnitte) bei x = 2 und x = −2.
Scheitel (globales Minimum) bei (0, −4); Symmetrieachse ist die y-Achse (x = 0).
Definitionsbereich: alle reellen Zahlen; Wertebereich: y ≥ −4.
Gerade Funktion: f(−x) = f(x); der Graph spiegelt sich über die y-Achse.
y-Achsenabschnitt bei (0, −4); die Funktion ist zwischen den Nullstellen negativ und außerhalb positiv.
Ableitung f′(x) = 2x; die Steigung ist null am Scheitel und die zweite Ableitung ist die Konstante 2.

Was diese quadratische Funktion ist

Jede quadratische Funktion hat die Form ax² + bx + c, und ihr Graph ist immer eine Parabel — die U-Form, die man vom Quadrieren erhält. Hier ist a = 1 (positiv, also öffnet sich das U nach oben), b = 0 (keine Neigung, also sitzt der Scheitel auf der y-Achse) und c = −4 (der y-Achsenabschnitt). Die Scheitelformel x = −b/(2a) ergibt x = 0, und f(0) = −4 bestätigt das Minimum bei (0, −4).

Die Faktorisierung enthüllt die Nullstellen: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), eine Differenz von Quadraten, sodass die Kurve die x-Achse genau dort kreuzt, wo jeder Faktor null ist — bei x = 2 und x = −2. Zwischen den Nullstellen ist die Funktion negativ (das Tal unter der Achse); außerhalb ist sie positiv und wächst unbeschränkt. Weil der x²-Term für große |x| dominiert, streben beide Arme der Parabel gegen +∞.

Symmetrie, Scheitel und Änderungsrate

Die y-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel: f(−x) = f(x), sodass die linke Hälfte die rechte spiegelt. Der Scheitel ist der Wendepunkt der Parabel — hier das globale Minimum, da die Arme ewig steigen. Jede quadratische Funktion hat genau einen Scheitel und genau einen Extremwert, darum sind Parabeln das Standardmodell für Optimierung: maximaler Gewinn, minimale Kosten, höchster Punkt einer Flugbahn.

Die Ableitung f′(x) = 2x erzählt den Rest der Geschichte: negativ für x < 0 (Abstieg in den Scheitel), null bei x = 0 (der flache Boden), positiv für x > 0 (Aufstieg heraus). Die Steigung selbst wächst linear, eine konstante zweite Ableitung von 2 — die Signatur konstanter Beschleunigung, darum ist die Strecke unter Schwerkraft quadratisch in der Zeit.

Wo quadratische Funktionen vorkommen

Werfen Sie einen Ball, und seine Höhe folgt einer Parabel: h(t) = −4,9t² + v₀t + h₀, dieselbe Form wie x² − 4, aber gedreht und verschoben. Flächen und Volumina erzeugen natürlicherweise Parabeln und Kubiken — das Verdoppeln der Quadratseite vervierfacht seine Fläche — und die Mitternachtsformel löst jede Gleichung dieses Typs, auch diese: x = ±√4 = ±2.

In der Wirtschaft wird der Gewinn als Funktion des Preises oft als nach unten geöffnete Parabel modelliert (der Umsatz steigt und fällt dann mit steigendem Preis), und ihr Scheitel gibt den optimalen Preis. In der Statistik minimiert die Kleinste-Quadrate-Anpassung eine quadratische Fehlerfunktion, und die Glockenkurve der Normalverteilung ist e^(−x²) — ein Quadrat im Exponenten.

f(x) = x^2 - 4 im Rechner zeichnen

Häufig gestellte Fragen

Wie findet man die Nullstellen von x² − 4?

Faktorisieren Sie als Differenz von Quadraten: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist, also x = 2 oder x = −2. Äquivalent gibt die Mitternachtsformel x = (0 ± √(0 + 16))/2 = ±2.

Was ist der Minimalwert von x² − 4?

−4, angenommen bei x = 0. Da x² ≥ 0 für alle reellen x, ergibt das Subtrahieren von 4 x² − 4 ≥ −4, mit Gleichheit nur wenn x² = 0. Der Scheitel (0, −4) ist der tiefste Punkt der Parabel, und die Funktion steigt auf beiden Seiten unbeschränkt.

Warum ist der Graph symmetrisch?

Weil nur gerade Potenzen von x vorkommen: (−x)² − 4 = x² − 4, also f(−x) = f(x). Jede Eingabe und ihr Negatives geben dieselbe Ausgabe, was die rechte Hälfte des Graphen über die y-Achse auf die linke Hälfte spiegelt.