Nullstellenfinder
Eine Nullstelle von f ist ein x-Wert, wo f(x) = 0 — die Punkte, wo der Graph die x-Achse kreuzt oder berührt. Geben Sie unten eine Funktion und ein Suchintervall ein, um jede Nullstelle darin zu finden.
Nullstellen finden
Wie die Berechnung funktioniert
Das Tool scannt das Intervall zuerst auf Vorzeichenwechsel und verfeinert dann jede eingeklammerte Nullstelle mit dem Brent-Verfahren — einem robusten Algorithmus, der die Sicherheit der Bisektion mit der Geschwindigkeit von Sekanten- und invers-quadratischer Interpolation verbindet. Es ist dieselbe Routine, die der Grafikrechner für seine Nullstellenanalyse nutzt.
Nullstellen, wo die Funktion die Achse nur berührt, ohne das Vorzeichen zu wechseln (wie x² bei x = 0), werden durch einen separaten extrema-bewussten Scan gefunden, da reine Vorzeichenwechsel-Erkennung sie übersehen würde. Jede gemeldete Nullstelle wird durch Auswertung von f am Ergebnis verifiziert.
Tipps für gute Ergebnisse
Wählen Sie ein Intervall, das die Nullstellen einklammert, die Sie interessieren: Das Tool sucht nur dort, wo Sie es ihm sagen. Für x² − 4 auf [−10, 10] findet es −2 und 2; verkleinern Sie das Intervall auf [0, 10], meldet es nur 2.
Wenn keine Nullstellen gemeldet werden, hat die Funktion entweder wirklich keine auf dem Intervall (wie x² + 1 auf der reellen Zahlengeraden) oder die Nullstellen sitzen genau an Ihren Intervallgrenzen — verschieben Sie die Grenzen leicht und versuchen Sie es erneut.
Häufig gestellte Fragen
Kann es komplexe (nicht-reelle) Nullstellen finden?
Nein — dieses Tool findet nur reelle Nullstellen. Funktionen wie x² + 1 haben keine reellen Nullstellen, sodass das Tool ehrlich keine auf einem reellen Intervall meldet.
Warum hat es eine Nullstelle übersehen, die ich auf dem Graphen sehe?
Die häufigste Ursache ist eine Nullstelle genau an einer Intervallgrenze oder eine Nullstelle, die der Scan-Schritt in einer wild oszillierenden Funktion überspringt. Verengen Sie das Intervall um die vermutete Nullstelle und suchen Sie erneut.
Wie genau sind die gemeldeten Nullstellen?
Das Brent-Verfahren konvergiert bis nahe an die Maschinengenauigkeit; gemeldete Werte werden auf 6 Dezimalstellen gerundet. Das Einsetzen einer gemeldeten Nullstelle in f(x) ergibt einen Wert extrem nahe null.