Funktionsbibliothek
Sinusfunktion
f(x) = sin(x)
Die klassische Welle der Trigonometrie: eine glatte Schwingung, die sich alle 2π wiederholt.
Die Sinusfunktion ist eine der bekanntesten Kurven der gesamten Mathematik: eine glatte, sich wiederholende Welle, die ewig zwischen −1 und 1 oszilliert. Ursprünglich über rechtwinklige Dreiecke definiert — der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse — dehnt sie sich natürlich auf alle reellen Zahlen aus, indem Winkel im Bogenmaß um den Einheitskreis gemessen werden. Auf dem Einheitskreis ist sin(x) einfach die y-Koordinate des Punkts, der nach einer Drehung um x Bogenmaß von der positiven x-Achse erreicht wird.
Weil sie sich alle 2π Bogenmaß wiederholt, ist der Sinus der Prototyp jedes periodischen Phänomens: Wechselstrom, Schallwellen, Licht, Gezeiten und die Schwingung einer Gitarrensaite lassen sich alle mit Sinuswellen unterschiedlicher Frequenz und Amplitude beschreiben. Geben Sie sin(x) in den Grafikrechner ein, um die Welle selbst nachzuzeichnen, verschieben Sie sie dann, strecken Sie sie und kombinieren Sie sie mit anderen Ausdrücken, um zu sehen, wie reale Schwingungen aus dieser einen Kurve aufgebaut sind.
Berechnete Eigenschaften
Zur Build-Zeit von der eigenen Rechen-Engine des Grafikrechners berechnet für sin(x) .
- Nullstellen in [−10, 10]
- -9.4248, -6.2832, -3.1416, 0.0000, 3.1416, 6.2832, 9.4248
- y-Achsenabschnitt f(0)
- 0.0000
- Lokale Extremstellen in [−10, 10]
-
- local minimum at (-7.8540, -1.0000)
- local maximum at (-4.7124, 1.0000)
- local minimum at (-1.5708, -1.0000)
- local maximum at (1.5708, 1.0000)
- local minimum at (4.7124, -1.0000)
- local maximum at (7.8540, 1.0000)
- Stichprobenwerte
- f(-2) = -0.9093 · f(-1) = -0.8415 · f(0) = 0 · f(1) = 0.8415 · f(2) = 0.9093
- Ableitung f′(1)
- 0.5403
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 0.4597
Wichtige Fakten
- Definitionsbereich: alle reellen Zahlen; Wertebereich: −1 ≤ sin(x) ≤ 1.
- Periode 2π: sin(x + 2π) = sin(x) für jedes x.
- Ungerade Funktion: sin(−x) = −sin(x); der Graph hat 180°-Drehsymmetrie um den Ursprung.
- Nullstellen bei x = nπ; Maxima von 1 bei x = π/2 + 2πn; Minima von −1 bei x = 3π/2 + 2πn.
- y-Achsenabschnitt bei (0, 0); Ableitung ist cos(x); eine Stammfunktion ist −cos(x).
Was der Sinus ist
Die Einheitskreis-Definition lässt den Sinus jede reelle Eingabe akzeptieren, nicht nur Winkel in einem Dreieck. Beginnend bei (1, 0) und gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis mit Radius 1 wandernd, landet jeder Winkel x auf einem Punkt, dessen Höhe über der x-Achse sin(x) ist. Nach einer vollen Umdrehung von 2π Bogenmaß kehren Sie dorthin zurück, wo Sie gestartet sind — darum wiederholt sich der Graph: Die Geschichte der Funktion ist in die Geometrie des Kreises eingeschrieben.
Diese Geometrie erklärt auch die Symmetrie der Welle: Der Sinus ist eine ungerade Funktion, also sin(−x) = −sin(x), sodass die linke Hälfte des Graphen die rechte Hälfte um 180° um den Ursprung gedreht ist. Der Graph kreuzt die x-Achse bei jedem Vielfachen von π, erreicht seinen Gipfel von 1 bei π/2 plus jeder vollen Umdrehung und seinen Tiefpunkt von −1 bei 3π/2 plus jeder vollen Umdrehung.
Amplitude, Periode und Phase
Drei Zahlen beschreiben jede Sinuswelle: Amplitude, Periode und Phase. Die Amplitude ist die Höhe der Welle — für schlichtes sin(x) ist sie 1, der Abstand von der Mittellinie y = 0 zu jedem Gipfel. Die Multiplikation mit einer Konstanten, wie in 3*sin(x), streckt die Welle vertikal, ohne ihre Form zu ändern — so werden lautere Klänge und stärkere Signale modelliert.
Die Periode ist die horizontale Länge eines vollen Zyklus: 2π für sin(x). Die Schreibweise sin(2*x) quetscht zwei volle Wellen in dieselbe Spanne, halbiert die Periode auf π und verdoppelt die Frequenz — die Tonhöhe einer Note eine Oktave höher. Eine Phasenverschiebung hinzuzufügen, sin(x − π/2), schiebt die ganze Welle seitwärts — darum ist der Kosinus heimlich ein verschobener Sinus: cos(x) = sin(x + π/2).
Wo der Sinus vorkommt
Sinuswellen sind die Bausteine der Signalverarbeitung. Jedes sich wiederholende Signal — ein Musikton, eine Radiosendung, das 50- oder 60-Hz-Brummen des Stromnetzes — lässt sich in eine Summe von Sinuswellen unterschiedlicher Frequenzen zerlegen, eine Tatsache, die als Fourier-Analyse bekannt ist. Wenn sich zwei Sinuswellen fast gleicher Frequenz überlagern, interferieren sie zu Schwebungen, dem pochenden Effekt, den man hört, wenn zwei leicht verstimmte Instrumente zusammenspielen.
Jenseits von Signalen regiert der Sinus die einfache harmonische Schwingung: das Hin und Her einer Masse an einer Feder, das Schwingen eines kleinen Pendels und das Auf und Ab einer schwimmenden Boje folgen alle sinusförmigen Kurven in der Zeit. In Geometrie und Physik projiziert der Sinus eine rotierende Größe auf eine Achse — die vertikale Position einer Riesenradgondel über die Zeit zeichnet exakt sin(x).
Häufig gestellte Fragen
Warum ist der Sinusgraph eine Welle?
Weil der Sinus die Höhe auf dem Einheitskreis bei der Drehung misst. Das Umrunden des Kreises lässt die Höhe glatt steigen und fallen und sich bei jeder vollen Umdrehung wiederholen, sodass der Graph von Höhe gegen Winkel eine Welle ist. Die Welle ist glatt, weil die Drehung stetig ist — es gibt keine Ecken oder Sprünge.
Was ist der Unterschied zwischen Sinus und Kosinus?
Es ist dieselbe Welle, seitwärts verschoben: cos(x) = sin(x + π/2). Auf dem Einheitskreis ist der Kosinus die x-Koordinate, während der Sinus die y-Koordinate ist. Der Kosinus startet bei seinem Maximum, cos(0) = 1, während der Sinus bei null startet, sin(0) = 0.
Überschreitet sin(x) jemals 1?
Nein — für reelles x gilt immer |sin(x)| ≤ 1. Auf dem Einheitskreis kann die y-Koordinate betragsmäßig niemals größer sein als der Radius, der 1 ist. (Der Sinus komplexer Zahlen kann 1 betragsmäßig überschreiten, aber der reellwertige Graph des Rechners bleibt innerhalb von [−1, 1].)