Biblioteca de funciones
Función valor absoluto
f(x) = abs(x)
La V más simple de las matemáticas: distancia desde cero, con una esquina afilada justo en el origen.
El valor absoluto, f(x) = |x|, es la función de distancia de la recta numérica: mide lo lejos que está x del cero, ignorando la dirección. Los números positivos se quedan quietos, los negativos se reflejan: |−5| = 5. La gráfica es una V perfecta con su punta en el origen, la recta y = x a la derecha y su imagen especular y = −x a la izquierda, unidas en (0, 0).
Esa punta es lo que hace interesante al valor absoluto: es el ejemplo más simple de una función continua pero no derivable, con una esquina afilada donde la pendiente salta de −1 a +1. El valor absoluto aparece en todas partes donde importa la magnitud y no el signo: errores de medición, tolerancias, distancias y la definición de límites. Escribe abs(x) en la calculadora y aleja la vista: la V se extiende eternamente, con cada brazo una semirrecta perfecta.
Propiedades calculadas
Calculado por el propio motor matemático de la calculadora gráfica al generar esta página para abs(x) .
- Raíces en [−10, 10]
- 0.0000
- Intersección con el eje y f(0)
- 0.0000
- Extremos locales en [−10, 10]
-
- local minimum at (0.0000, 0.0000)
- Valores de muestra
- f(-2) = 2 · f(-1) = 1 · f(0) = 0 · f(1) = 1 · f(2) = 2
- Derivada f′(1)
- 1.0000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 0.5000
Datos clave
- Definición por tramos: |x| = x si x ≥ 0; |x| = −x si x < 0.
- |x − a| es la distancia entre x y a en la recta numérica.
- Función par: |−x| = |x|; la gráfica en V es simétrica respecto al eje y.
- Mínimo global en (0, 0); pendiente −1 para x < 0 y +1 para x > 0.
- Continua en todas partes pero no derivable en x = 0 (esquina afilada).
- Desigualdad triangular: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Qué es el valor absoluto
Formalmente, |x| = x si x ≥ 0 y |x| = −x si x < 0: una función definida por tramos que despoja el signo. Esto la convierte en la distancia de x al origen, y de forma más general |x − a| es la distancia entre x y a, razón por la que las desigualdades como |x − 3| < 2 describen intervalos (aquí, (1, 5): los puntos a menos de 2 unidades de 3).
La V es una función par: |−x| = |x|, así que la mitad izquierda refleja la derecha en el eje y. La pendiente es exactamente −1 para x < 0 y +1 para x > 0: los brazos son semirrectas con inclinaciones constantes. En x = 0 los brazos se encuentran en el mínimo global (0, 0), el punto más bajo de la gráfica y el único donde la función vale cero.
La esquina en el origen
En x = 0 el valor absoluto es continua —el límite por ambos lados es 0, que coincide con el valor— pero no derivable: la pendiente por la izquierda es −1 y por la derecha es +1, sin una única tangente en la punta. Esta es la esquina canónica que se muestra en clase de cálculo: la prueba de que la continuidad no implica derivabilidad. La calculadora gráfica dibuja la V sin dudar, pero cualquier herramienta numérica de derivadas debe manejar la punta con cuidado.
La esquina también puede suavizarse: √(x² + ε) aproxima |x| con una curva redondeada, y promediar |x| sobre ruido produce transiciones suaves. En optimización, minimizar sumas de valores absolutos (como en la regresión de desviación mínima absoluta) requiere métodos que toleren esquinas, a diferencia de los mínimos cuadrados, suaves en todas partes.
Dónde aparece el valor absoluto
Toda «distancia» unidimensional usa el valor absoluto: |x − a| es lo lejos que está x de a, la base de los intervalos de tolerancia («5 mm ± 0,1 mm» significa |longitud − 5| ≤ 0,1) y de las definiciones ε-δ de límite. En dos dimensiones se generaliza a la distancia euclidiana √((Δx)² + (Δy)²), con cuadrados que desempeñan el papel del valor absoluto.
En aprendizaje automático, la función de pérdida de error absoluto medio (MAE) promedia |predicción − real|: robusta frente a valores atípicos porque, a diferencia del error cuadrático, no amplifica los errores grandes. La función de activación ReLU de las redes neuronales, max(0, x), es prima hermana del valor absoluto (|x| = ReLU(x) + ReLU(−x)), y las desigualdades triangulares |a + b| ≤ |a| + |b| sustentan el análisis real.
Preguntas frecuentes
¿Por qué |x| no es derivable en x = 0?
Porque la pendiente salta de −1 (a la izquierda) a +1 (a la derecha): no hay una única recta tangente en la punta. La derivada como límite del cociente incremental da −1 por la izquierda y +1 por la derecha, así que el límite bilateral no existe. La función sigue siendo continua allí: la esquina es afilada pero sin saltos.
¿Qué significa |x − 3| < 2?
«La distancia de x a 3 es menor que 2», es decir, x está en el intervalo abierto (1, 5). El valor absoluto convierte las afirmaciones de distancia en álgebra: |x − a| < ε describe todos los puntos a menos de ε unidades de a, el lenguaje de las tolerancias y de las definiciones de límite.
¿El valor absoluto es lo mismo que «quitar el signo menos»?
Para números concretos, sí: |−5| = 5. Pero como función es más que eso: es la distancia al cero, una función par con forma de V, no derivable en el origen y la base de las desigualdades triangulares. «Quitar el signo» es el cálculo; la distancia es el significado.