Libreria di funzioni
Funzione valore assoluto
f(x) = abs(x)
La misura a V della distanza da zero — semplice, simmetrica, con un punto angoloso nell’origine.
La funzione valore assoluto f(x) = |x| è la distanza resa visibile: |x| è quanto x dista dallo zero sulla retta numerica, indipendentemente dalla direzione. Il suo grafico è una V perfetta — la retta y = −x per gli input negativi che incontra la retta y = x per quelli positivi nel punto angoloso tagliente (0, 0). Quel punto angoloso è la caratteristica più famosa della funzione: l’unico punto in cui è continua ma non derivabile, dove la pendenza salta da −1 a 1.
Il valore assoluto compare ovunque la grandezza conta più del segno: margini di errore (|misurato − vero| < tolleranza), tolleranze in produzione, la distanza tra due numeri (|a − b|) e definizioni a tratti in tutta la matematica applicata. È anche l’esempio più semplice di funzione costruita incollando due formule. Digita abs(x) nella calcolatrice, poi prova abs(x - 3) per guardare la V scivolare e vedere la distanza-da-3 disegnata come grafico.
Proprietà calcolate
Calcolate dal motore matematico della calcolatrice grafica al momento della build per abs(x) .
- Radici in [−10, 10]
- 0.0000
- Intercetta y f(0)
- 0.0000
- Estremi locali in [−10, 10]
-
- local minimum at (0.0000, 0.0000)
- Valori campione
- f(-2) = 2 · f(-1) = 1 · f(0) = 0 · f(1) = 1 · f(2) = 2
- Derivata f′(1)
- 1.0000
- Integrale ∫₀¹ f(x) dx
- 0.5000
Fatti chiave
- Definizione a tratti: |x| = x per x ≥ 0, |x| = −x per x < 0; equivalentemente |x| = √(x²).
- Dominio: tutti i numeri reali; codominio: y ≥ 0.
- Grafico a V con vertice (punto angoloso) in (0, 0); funzione pari, simmetrica rispetto all’asse y.
- Continua ovunque ma non derivabile in x = 0 (la pendenza salta da −1 a 1).
- |x − a| è la distanza tra x e a; minimo globale 0 in x = 0, nessun massimo.
Cos’è il valore assoluto
La definizione è a tratti: |x| = x quando x ≥ 0 e |x| = −x quando x < 0 — il segno meno ribalta i negativi in positivi. Quindi |5| = 5 e |−5| = −(−5) = 5. Equivalentemente, |x| = √(x²), il che mostra perché l’output non è mai negativo: elevare al quadrato cancella il segno e la radice principale lo mantiene cancellato. Entrambe le forme dicono la stessa cosa: grandezza senza direzione.
Questo rende |x − a| la distanza tra x e a, l’interpretazione da cavallo da lavoro. La disequazione |x − 3| < 2 descrive tutti i punti entro 2 unità da 3, cioè l’intervallo aperto (1, 5) — il valore assoluto converte il linguaggio della distanza in algebra e viceversa. È una funzione pari, |−x| = |x|, quindi la V si rispecchia perfettamente rispetto all’asse y.
Il punto angoloso nell’origine
In x = 0 i due bracci della V si incontrano ad angolo, e quell’angolo è una genuina singolarità di liscezza: avvicinandosi da sinistra la pendenza è −1, da destra è +1, quindi non esiste un’unica retta tangente. La funzione è continua in 0 — i bracci si uniscono senza buco — ma non derivabile lì, il controesempio standard che separa i due concetti in ogni corso di analisi.
Lontano dal punto angoloso tutto è docile: la derivata è −1 per x < 0 e +1 per x > 0, spesso scritta come funzione segno, e la derivata seconda è 0 dove esiste. La V ha il suo minimo globale di 0 in x = 0 e nessun massimo; entrambi i bracci salgono a +∞ con pendenza costante, senza mai piegarsi.
Dove compare il valore assoluto
L’analisi degli errori gira sul valore assoluto: “entro 0.5 dal valore vero” è |errore| < 0.5, e i metodi numerici si fermano quando approssimazioni successive soddisfano |xₙ₊₁ − xₙ| < tolleranza. In statistica, la deviazione media assoluta misura la dispersione senza elevare al quadrato, restando nelle unità originali e resistendo agli outlier meglio della varianza.
In ottimizzazione e machine learning, il valore assoluto è la penalità L1: minimizzare somme di |·| incoraggia la sparsità (molti zeri esatti), a differenza della penalità L2 al quadrato. I modelli lineari a tratti, dalle fasce fiscali alle reti neurali ReLU (max(0, x) = (x + |x|)/2), sono costruiti da punti angolosi tipo valore assoluto — il gomito in zero è una caratteristica, non un bug.
Domande frequenti
Perché |x| non è derivabile in 0?
La derivabilità in un punto richiede che le pendenze da entrambi i lati concordino. Per |x|, la pendenza da sinistra è −1 e quella da destra è +1 — discordano, quindi non esiste retta tangente nel punto angoloso. La funzione è comunque continua lì; ha solo un gomito.
Qual è la differenza tra |x| e √(x²)?
Nessuna — sono la stessa funzione. Elevare al quadrato rimuove il segno di x e la radice quadrata principale restituisce il risultato non negativo, che è esattamente il valore assoluto. L’identità |x| = √(x²) è spesso usata per derivare |x| lontano dallo zero.
Come si risolve |x − 3| = 5?
Leggila come “la distanza da x a 3 è 5”, dando x = 3 + 5 = 8 o x = 3 − 5 = −2. Algebricamente, dividi in casi: x − 3 = 5 dà x = 8, e x − 3 = −5 dà x = −2. Entrambe verificano: |8 − 3| = 5 e |−2 − 3| = 5.