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Función cuadrática

f(x) = x^2 - 4

La parábola x² − 4: una curva en U con raíces en ±2 y su punto más bajo en (0, −4).

La función cuadrática f(x) = x² − 4 es la parábola más simple con algo interesante pasando: cruza el eje x dos veces, se hunde por debajo de él y da la vuelta en un único punto más bajo. Elevar al cuadrado hace que cada entrada sea no negativa, así que x² es mínimo en x = 0, y restar 4 desliza toda la forma de U cuatro unidades hacia abajo. El resultado es una curva simétrica con vértice en (0, −4), que se abre hacia arriba eternamente.

Las cuadráticas son las caballos de batalla del álgebra: modelan todo lo que depende del cuadrado de otra cantidad —el área de un cuadrado, la altura de una pelota lanzada a lo largo del tiempo, el beneficio de un negocio con demanda lineal—. El ejemplo x² − 4 es especialmente instructivo porque se factoriza limpiamente como (x − 2)(x + 2), así que sus intersecciones con el eje x en 2 y −2 se leen directamente del álgebra. Gráficala en la calculadora y observa la simetría respecto al eje y.

Propiedades calculadas

Calculado por el propio motor matemático de la calculadora gráfica al generar esta página para x^2 - 4 .

Raíces en [−10, 10]: -2.0000, 2.0000
Intersección con el eje y f(0): -4.0000
Extremos locales en [−10, 10]: local minimum at (0.0000, -4.0000)
Valores de muestra: f(-2) = 0 · f(-1) = -3 · f(0) = -4 · f(1) = -3 · f(2) = 0
Derivada f′(1): 2.0000
Integral ∫₀¹ f(x) dx: -3.6667

Datos clave

Forma factorizada: x² − 4 = (x − 2)(x + 2); raíces (intersecciones con el eje x) en x = 2 y x = −2.
Vértice (mínimo global) en (0, −4); el eje de simetría es el eje y (x = 0).
Dominio: todos los números reales; rango: y ≥ −4.
Función par: f(−x) = f(x); la gráfica se refleja en el eje y.
Intersección con el eje y en (0, −4); la función es negativa entre las raíces y positiva fuera de ellas.
Derivada f′(x) = 2x; la pendiente es cero en el vértice y la segunda derivada es la constante 2.

Qué es esta cuadrática

Toda cuadrática tiene la forma ax² + bx + c, y su gráfica es siempre una parábola: la forma de U que obtienes al elevar al cuadrado. Aquí a = 1 (positivo, así que la U se abre hacia arriba), b = 0 (sin inclinación, así que el vértice está sobre el eje y) y c = −4 (la intersección con el eje y). La fórmula del vértice x = −b/(2a) da x = 0, y f(0) = −4, lo que confirma el mínimo en (0, −4).

La factorización revela las raíces: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), una diferencia de cuadrados, así que la curva cruza el eje x exactamente donde cada factor se anula: en x = 2 y x = −2. Entre las raíces la función es negativa (la depresión bajo el eje); fuera de ellas es positiva y crece sin límite. Como el término x² domina para |x| grande, ambos brazos de la parábola se dirigen a +∞.

Simetría, vértice y razón de cambio

El eje y es el eje de simetría de la parábola: f(−x) = f(x), así que la mitad izquierda refleja la derecha. El vértice es el punto de giro de la parábola: aquí el mínimo global, ya que los brazos suben eternamente. Toda cuadrática tiene exactamente un vértice y exactamente un valor extremo, y por eso las cuadráticas son el modelo ideal para la optimización: beneficio máximo, costo mínimo, punto más alto de una trayectoria.

La derivada f′(x) = 2x cuenta el resto de la historia: negativa para x < 0 (cayendo hacia el vértice), cero en x = 0 (el fondo plano), positiva para x > 0 (saliendo en ascenso). La propia pendiente crece linealmente, una segunda derivada constante de 2: la firma de la aceleración constante, y por eso la distancia bajo la gravedad es cuadrática en el tiempo.

Dónde aparecen las cuadráticas

Lanza una pelota y su altura sigue una parábola: h(t) = −4.9t² + v₀t + h₀, la misma forma que x² − 4 pero invertida y desplazada. Las áreas y los volúmenes producen cuadráticas y cúbicas de forma natural —duplicar el lado de un cuadrado cuadruplica su área— y la fórmula cuadrática resuelve toda ecuación de este tipo, incluida esta: x = ±√4 = ±2.

En economía, el beneficio en función del precio suele modelarse como una parábola que se abre hacia abajo (los ingresos suben y luego caen al subir el precio), y su vértice da el precio óptimo. En estadística, el ajuste por mínimos cuadrados minimiza una función de error cuadrática, y la campana de la distribución normal es e^(−x²): una cuadrática en el exponente.

Graficar f(x) = x^2 - 4 en la calculadora

Preguntas frecuentes

¿Cómo se encuentran las raíces de x² − 4?

Factorízala como diferencia de cuadrados: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Un producto es cero cuando algún factor es cero, así que x = 2 o x = −2. Equivalentemente, la fórmula cuadrática da x = (0 ± √(0 + 16))/2 = ±2.

¿Cuál es el valor mínimo de x² − 4?

−4, alcanzado en x = 0. Como x² ≥ 0 para todo x real, restar 4 da x² − 4 ≥ −4, con igualdad solo cuando x² = 0. El vértice (0, −4) es el punto más bajo de la parábola, y la función crece sin límite por ambos lados.

¿Por qué la gráfica es simétrica?

Porque solo aparecen potencias pares de x: (−x)² − 4 = x² − 4, así que f(−x) = f(x). Cada entrada y su negativa dan la misma salida, lo que refleja la mitad derecha de la gráfica en el eje y sobre la mitad izquierda.