¿Qué es una función? Dominio, rango y notación

Una función es una regla con una promesa

Una función es una regla que toma cada valor de entrada y le asigna exactamente un valor de salida. Esa palabra «exactamente» hace todo el trabajo: una función nunca puede entregar dos salidas distintas para la misma entrada. Si introduces x = 2, la función te devuelve una respuesta, y si introduces 2 de nuevo mañana, obtienes la misma respuesta. Los matemáticos llaman a este requisito estar «bien definida», y es lo que separa las funciones de tipos más laxos de relaciones entre cantidades.

Considera f(x) = x^2. La entrada 3 produce la salida 9, y la entrada −3 también produce 9. Eso está bien —dos entradas distintas pueden compartir una salida. Lo que no estaría bien es que la regla asignara tanto 9 como 10 a la entrada 3. Entonces la regla no sería una función en absoluto.

La notación f(x) y lo que significa

La expresión f(x) se lee «f de x», y nombra la salida de la función f cuando la entrada es x. La letra f es solo un nombre; igual podrías usar g, h o costeDe. Escribir f(x) = 2*x + 1 dice: la función f calcula su salida duplicando su entrada y sumando uno. Entonces f(4) = 9, f(−1) = −1, y así sucesivamente.

Esta notación se vuelve poderosa cuando comparas funciones. Si g(x) = x^2, entonces f(g(2)) = f(4) = 9 —metiste la salida de g dentro de f. Encadenar funciones así se llama composición, y la notación facilita rastrear exactamente qué regla se aplica a qué valor. También te permite hablar de toda la función a la vez («f es creciente») en lugar de solo de valores individuales.

Dominio: el conjunto de entradas permitidas

Toda función tiene un dominio: el conjunto de valores de entrada que acepta. Para f(x) = x^2, cualquier número real vale, así que el dominio son todos los números reales. Pero g(x) = sqrt(x) rechaza las entradas negativas —no hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo—, así que su dominio es x ≥ 0.

A veces el dominio lo restringe la propia regla, y a veces la situación que la función modela. La función h(x) = 1/x excluye x = 0, porque dividir entre cero no está definido. Y si una función modela el precio de n manzanas, su dominio natural podrían ser los números de contar 1, 2, 3, …, aunque la fórmula 2.5*n aceptaría encantada entradas fraccionarias. Cuando trabajes con una función, ten siempre claro qué entradas puede realmente tomar.

Rango: el conjunto de salidas producidas

El rango es el conjunto de valores de salida que la función produce realmente a medida que la entrada recorre el dominio. Para f(x) = x^2, elevar al cuadrado nunca da un número negativo, y todo número no negativo aparece como algún cuadrado (el cuadrado de su raíz cuadrada). Así que el rango son todos los números y ≥ 0.

Dominio y rango responden preguntas distintas: el dominio pregunta «¿qué puedo meter?» y el rango pregunta «¿qué puede salir?». Para f(x) = 2*x + 1 ambos son todos los números reales, porque duplicar y desplazar puede alcanzar cualquier valor real. Para f(x) = sin(x) el dominio son todos los números reales pero el rango es solo [−1, 1], ya que la onda senoidal oscila entre −1 y 1 eternamente. Fijarse en el rango ayuda a leer una gráfica: es exactamente la extensión vertical de la curva.

Leyendo todo esto en una gráfica

Una gráfica muestra una función directamente: cada punto (x, y) de la curva dice f(x) = y. El dominio es la sombra de la curva sobre el eje x —el tramo horizontal de puntos que aparecen realmente. El rango es la sombra sobre el eje y. Si la curva se rompe o se detiene, esas rupturas aparecen como huecos en el dominio.

También hay una prueba rápida: la prueba de la recta vertical. Si cada recta vertical que dibujes cruza la curva como máximo una vez, la curva representa una función —porque cada x tiene como máximo una y. Un círculo falla esta prueba (una recta vertical por su centro lo cruza dos veces), y por eso un círculo completo no es la gráfica de una sola función. Prueba a introducir las expresiones de abajo en la calculadora gráfica, ajusta la vista y lee tú mismo el dominio y el rango de cada una.

Ideas clave

• Una función asigna exactamente una salida a cada entrada —esa promesa de salida única es la propiedad definitoria.
• f(x) es «f de x»: la salida de f en la entrada x. La composición f(g(x)) encadena dos reglas.
• El dominio es el conjunto de entradas permitidas; la división entre cero y las raíces cuadradas de negativos son las restricciones clásicas del dominio.
• El rango es el conjunto de salidas que la función produce realmente —la extensión vertical de su gráfica.
• La prueba de la recta vertical decide si una curva es una función: cualquier recta vertical puede cruzarla como máximo una vez.

Preguntas frecuentes