Bibliothèque de fonctions
Fonction valeur absolue
f(x) = abs(x)
La mesure en V de la distance à zéro — simple, symétrique, avec un coin à l’origine.
La fonction valeur absolue f(x) = |x| est la distance rendue visible : |x| est la distance de x à zéro sur la droite numérique, quelle que soit la direction. Son graphe est un V parfait — la droite y = −x pour les entrées négatives rencontrant la droite y = x pour les positives au coin aigu (0, 0). Ce coin est le trait le plus célèbre de la fonction : l’unique point où elle est continue mais pas dérivable, où la pente saute de −1 à 1.
La valeur absolue surgit partout où la magnitude compte plus que le signe : les bornes d’erreur (|mesuré − vrai| < tolérance), les tolérances en fabrication, la distance entre deux nombres (|a − b|), et les définitions par morceaux dans toutes les mathématiques appliquées. C’est aussi l’exemple le plus simple d’une fonction construite en collant deux formules. Tapez abs(x) dans la calculatrice, puis essayez abs(x - 3) pour voir le V glisser et la distance à 3 dessinée en graphe.
Propriétés calculées
Calculé par le moteur mathématique propre à la calculatrice graphique au moment de la compilation pour abs(x) .
- Racines dans [−10, 10]
- 0.0000
- Intersection avec l’axe y f(0)
- 0.0000
- Extrémums locaux dans [−10, 10]
-
- local minimum at (0.0000, 0.0000)
- Valeurs échantillons
- f(-2) = 2 · f(-1) = 1 · f(0) = 0 · f(1) = 1 · f(2) = 2
- Dérivée f′(1)
- 1.0000
- Intégrale ∫₀¹ f(x) dx
- 0.5000
Faits essentiels
- Définition par morceaux : |x| = x pour x ≥ 0, |x| = −x pour x < 0 ; de façon équivalente |x| = √(x²).
- Domaine : tous les réels ; ensemble d’arrivée : y ≥ 0.
- Graphe en V avec sommet (coin) en (0, 0) ; fonction paire, symétrique par rapport à l’axe des y.
- Continue partout mais pas dérivable en x = 0 (la pente saute de −1 à 1).
- |x − a| est la distance entre x et a ; minimum global 0 en x = 0, pas de maximum.
Ce qu’est la valeur absolue
La définition est par morceaux : |x| = x quand x ≥ 0 et |x| = −x quand x < 0 — le signe moins renverse les négatifs en positifs. Donc |5| = 5 et |−5| = −(−5) = 5. De façon équivalente, |x| = √(x²), ce qui montre pourquoi la sortie n’est jamais négative : élever au carré efface le signe et la racine principale le garde effacé. Les deux formes disent la même chose : la magnitude sans la direction.
Cela fait de |x − a| la distance entre x et a, l’interprétation cheval de bataille. L’inégalité |x − 3| < 2 décrit tous les points à moins de 2 unités de 3, c’est-à-dire l’intervalle ouvert (1, 5) — la valeur absolue convertit le langage des distances en algèbre et inversement. C’est une fonction paire, |−x| = |x| : le V se reflète donc parfaitement par rapport à l’axe des y.
Le coin à l’origine
En x = 0, les deux bras du V se rencontrent en angle, et cet angle est une véritable singularité de régularité : en approchant par la gauche, la pente vaut −1, par la droite elle vaut +1 : aucune tangente unique n’existe donc. La fonction est continue en 0 — les bras se rejoignent sans trou — mais pas dérivable à cet endroit, le contre-exemple standard qui sépare les deux concepts dans chaque cours de calcul différentiel.
Loin du coin, tout est docile : la dérivée vaut −1 pour x < 0 et +1 pour x > 0, souvent notée comme la fonction signe, et la dérivée seconde vaut 0 partout où elle existe. Le V a son minimum global de 0 en x = 0 et pas de maximum ; les deux bras montent vers +∞ avec une pente constante, sans jamais se courber.
Où apparaît la valeur absolue
L’analyse d’erreur fonctionne à la valeur absolue : « à moins de 0,5 de la vraie valeur » s’écrit |erreur| < 0,5, et les méthodes numériques s’arrêtent quand des approximations successives vérifient |xₙ₊₁ − xₙ| < tolérance. En statistique, l’écart absolu moyen mesure la dispersion sans élever au carré, restant dans les unités d’origine et résistant mieux aux valeurs aberrantes que la variance.
En optimisation et en apprentissage automatique, la valeur absolue est la pénalité L1 : minimiser des sommes de |·| encourage la parcimonie (beaucoup de zéros exacts), contrairement à la pénalité L2 au carré. Les modèles linéaires par morceaux, des tranches d’imposition aux réseaux de neurones ReLU (max(0, x) = (x + |x|)/2), sont construits à partir de coins de type valeur absolue — le coude en zéro est une fonctionnalité, pas un bogue.
Questions fréquentes
Pourquoi |x| n’est-elle pas dérivable en 0 ?
La dérivabilité en un point exige que les pentes des deux côtés concordent. Pour |x|, la pente à gauche vaut −1 et la pente à droite vaut +1 — elles diffèrent, donc aucune tangente n’existe au coin. La fonction y est quand même continue ; elle a juste un coude.
Quelle est la différence entre |x| et √(x²) ?
Aucune — c’est la même fonction. Élever au carré supprime le signe de x et la racine carrée principale renvoie le résultat non négatif, ce qui est exactement la valeur absolue. L’identité |x| = √(x²) sert souvent à dériver |x| loin de zéro.
Comment résoudre |x − 3| = 5 ?
Lisez « la distance de x à 3 vaut 5 », ce qui donne x = 3 + 5 = 8 ou x = 3 − 5 = −2. Algébriquement, séparez en cas : x − 3 = 5 donne x = 8, et x − 3 = −5 donne x = −2. Les deux se vérifient : |8 − 3| = 5 et |−2 − 3| = 5.