Funktionsbibliothek
Betragsfunktion
f(x) = abs(x)
Das V-förmige Maß des Abstands von null — einfach, symmetrisch, mit einer Ecke am Ursprung.
Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist Abstand sichtbar gemacht: |x| ist, wie weit x auf der Zahlengeraden von null sitzt, unabhängig von der Richtung. Ihr Graph ist ein perfektes V — die Gerade y = −x für negative Eingaben trifft die Gerade y = x für positive an der scharfen Ecke (0, 0). Diese Ecke ist das berühmteste Merkmal der Funktion: der eine Punkt, wo sie stetig, aber nicht differenzierbar ist, wo die Steigung von −1 auf 1 springt.
Der Betrag taucht überall auf, wo der Betrag mehr zählt als das Vorzeichen: Fehlerschranken (|gemessen − wahr| < Toleranz), Toleranzen in der Fertigung, der Abstand zwischen zwei Zahlen (|a − b|) und abschnittsweise Definitionen in der gesamten angewandten Mathematik. Er ist auch das einfachste Beispiel einer Funktion, die aus dem Zusammenkleben zweier Formeln gebaut ist. Geben Sie abs(x) in den Rechner ein, versuchen Sie dann abs(x - 3), um zu beobachten, wie das V gleitet, und sehen Sie Abstand-von-3 als Graphen gezeichnet.
Berechnete Eigenschaften
Zur Build-Zeit von der eigenen Rechen-Engine des Grafikrechners berechnet für abs(x) .
- Nullstellen in [−10, 10]
- 0.0000
- y-Achsenabschnitt f(0)
- 0.0000
- Lokale Extremstellen in [−10, 10]
-
- local minimum at (0.0000, 0.0000)
- Stichprobenwerte
- f(-2) = 2 · f(-1) = 1 · f(0) = 0 · f(1) = 1 · f(2) = 2
- Ableitung f′(1)
- 1.0000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 0.5000
Wichtige Fakten
- Abschnittsweise Definition: |x| = x für x ≥ 0, |x| = −x für x < 0; äquivalent |x| = √(x²).
- Definitionsbereich: alle reellen Zahlen; Wertebereich: y ≥ 0.
- V-förmiger Graph mit Scheitel (Ecke) bei (0, 0); gerade Funktion, symmetrisch zur y-Achse.
- Überall stetig, aber nicht differenzierbar bei x = 0 (Steigung springt von −1 auf 1).
- |x − a| ist der Abstand zwischen x und a; globales Minimum 0 bei x = 0, kein Maximum.
Was der Betrag ist
Die Definition ist abschnittsweise: |x| = x, wenn x ≥ 0, und |x| = −x, wenn x < 0 — das Minuszeichen kippt Negative zurück zu Positiven. Also |5| = 5 und |−5| = −(−5) = 5. Äquivalent ist |x| = √(x²), was zeigt, warum die Ausgabe niemals negativ ist: Das Quadrieren löscht das Vorzeichen und die Hauptwurzel hält es gelöscht. Beide Formen sagen dasselbe: Betrag ohne Richtung.
Das macht |x − a| zum Abstand zwischen x und a, der Arbeitspferd-Interpretation. Die Ungleichung |x − 3| < 2 beschreibt alle Punkte innerhalb von 2 Einheiten um 3, also das offene Intervall (1, 5) — der Betrag wandelt Abstandssprache in Algebra um und zurück. Es ist eine gerade Funktion, |−x| = |x|, sodass das V perfekt über die y-Achse spiegelt.
Die Ecke am Ursprung
Bei x = 0 treffen sich die beiden Arme des V in einem Winkel, und dieser Winkel ist eine echte Singularität der Glattheit: Von links kommend ist die Steigung −1, von rechts +1, sodass keine einzelne Tangente existiert. Die Funktion ist bei 0 stetig — die Arme verbinden sich ohne Lücke — aber nicht differenzierbar dort, das Standard-Gegenbeispiel, das die beiden Konzepte in jeder Analysis-Vorlesung trennt.
Abseits der Ecke ist alles zahm: Die Ableitung ist −1 für x < 0 und +1 für x > 0, oft als Vorzeichenfunktion geschrieben, und die zweite Ableitung ist 0, wo immer sie existiert. Das V hat sein globales Minimum von 0 bei x = 0 und kein Maximum; beide Arme steigen mit konstanter Steigung nach +∞, ohne sich je zu biegen.
Wo der Betrag vorkommt
Fehleranalyse läuft auf dem Betrag: „innerhalb von 0,5 des wahren Werts“ ist |Fehler| < 0,5, und numerische Verfahren stoppen, wenn aufeinanderfolgende Näherungen |xₙ₊₁ − xₙ| < Toleranz erfüllen. In der Statistik misst die mittlere absolute Abweichung Streuung ohne Quadrieren, bleibt in den ursprünglichen Einheiten und widersteht Ausreißern besser als die Varianz.
In Optimierung und maschinellem Lernen ist der Betrag die L1-Strafe: Das Minimieren von Summen von |·| fördert Sparsamkeit (viele exakte Nullen), anders als die quadrierte L2-Strafe. Stückweise lineare Modelle, von Steuerklassen bis zu ReLU-neuronalen Netzen (max(0, x) = (x + |x|)/2), sind aus betragsartigen Ecken gebaut — der Knick bei null ist ein Merkmal, kein Fehler.
Häufig gestellte Fragen
Warum ist |x| bei 0 nicht differenzierbar?
Differenzierbarkeit an einem Punkt erfordert, dass die Steigungen von beiden Seiten übereinstimmen. Für |x| ist die Steigung von links −1 und von rechts +1 — sie stimmen nicht überein, sodass keine Tangente an der Ecke existiert. Die Funktion ist dort trotzdem stetig; sie hat nur einen Knick.
Was ist der Unterschied zwischen |x| und √(x²)?
Keiner — es ist dieselbe Funktion. Das Quadrieren entfernt das Vorzeichen von x und die Hauptquadratwurzel gibt das nicht-negative Ergebnis zurück, was genau der Betrag ist. Die Identität |x| = √(x²) wird oft genutzt, um |x| abseits von null zu differenzieren.
Wie löst man |x − 3| = 5?
Lesen Sie es als „der Abstand von x zu 3 ist 5“, was x = 3 + 5 = 8 oder x = 3 − 5 = −2 ergibt. Algebraisch, aufgeteilt in Fälle: x − 3 = 5 ergibt x = 8, und x − 3 = −5 ergibt x = −2. Beides geht auf: |8 − 3| = 5 und |−2 − 3| = 5.