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Função Valor Absoluto
f(x) = abs(x)
A medida em forma de V da distância até o zero — simples, simétrica, com um canto na origem.
A função valor absoluto f(x) = |x| é a distância tornada visível: |x| é o quanto x está distante do zero na reta numérica, independentemente da direção. Seu gráfico é um V perfeito — a reta y = −x para entradas negativas encontrando a reta y = x para as positivas no canto agudo (0, 0). Esse canto é a característica mais famosa da função: o único ponto onde ela é contínua, mas não diferenciável, onde a inclinação salta de −1 para 1.
O valor absoluto aparece onde quer que a magnitude importe mais que o sinal: margens de erro (|medido − verdadeiro| < tolerância), tolerâncias na manufatura, a distância entre dois números (|a − b|) e definições por partes em toda a matemática aplicada. É também o exemplo mais simples de uma função construída colando duas fórmulas. Digite abs(x) na calculadora e depois experimente abs(x - 3) para ver o V deslizar e a distância até 3 desenhada como um gráfico.
Propriedades calculadas
Calculado pelo próprio motor matemático da calculadora gráfica em tempo de construção para abs(x) .
- Raízes em [−10, 10]
- 0.0000
- Interseção com o eixo y f(0)
- 0.0000
- Extremos locais em [−10, 10]
-
- local minimum at (0.0000, 0.0000)
- Valores de amostra
- f(-2) = 2 · f(-1) = 1 · f(0) = 0 · f(1) = 1 · f(2) = 2
- Derivada f′(1)
- 1.0000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 0.5000
Fatos principais
- Definição por partes: |x| = x para x ≥ 0, |x| = −x para x < 0; equivalentemente |x| = √(x²).
- Domínio: todos os números reais; imagem: y ≥ 0.
- Gráfico em V com vértice (canto) em (0, 0); função par, simétrica em relação ao eixo y.
- Contínua em todos os lugares, mas não diferenciável em x = 0 (a inclinação salta de −1 para 1).
- |x − a| é a distância entre x e a; mínimo global 0 em x = 0, sem máximo.
O que é o valor absoluto
A definição é por partes: |x| = x quando x ≥ 0 e |x| = −x quando x < 0 — o sinal de menos inverte os negativos de volta para positivo. Assim, |5| = 5 e |−5| = −(−5) = 5. Equivalentemente, |x| = √(x²), o que mostra por que a saída nunca é negativa: elevar ao quadrado apaga o sinal e a raiz principal o mantém apagado. Ambas as formas dizem a mesma coisa: magnitude sem direção.
Isso faz de |x − a| a distância entre x e a, a interpretação campeã. A inequação |x − 3| < 2 descreve todos os pontos a menos de 2 unidades de 3, ou seja, o intervalo aberto (1, 5) — o valor absoluto converte a linguagem da distância em álgebra e vice-versa. É uma função par, |−x| = |x|, de modo que o V se espelha perfeitamente em relação ao eixo y.
O canto na origem
Em x = 0, os dois braços do V se encontram em um ângulo, e esse ângulo é uma singularidade genuína de suavidade: aproximando-se pela esquerda, a inclinação é −1; pela direita, é +1, de modo que não existe uma única reta tangente. A função é contínua em 0 — os braços se unem sem lacuna — mas não é diferenciável ali, o contraexemplo padrão que separa os dois conceitos em todo curso de cálculo.
Longe do canto, tudo é manso: a derivada é −1 para x < 0 e +1 para x > 0, frequentemente escrita como a função sinal, e a segunda derivada é 0 onde quer que exista. O V tem seu mínimo global de 0 em x = 0 e nenhum máximo; ambos os braços sobem até +∞ com inclinação constante, sem nunca se curvar.
Onde o valor absoluto aparece
A análise de erros funciona com valor absoluto: “dentro de 0,5 do valor verdadeiro” é |erro| < 0,5, e métodos numéricos param quando aproximações sucessivas satisfazem |xₙ₊₁ − xₙ| < tolerância. Na estatística, o desvio absoluto médio mede a dispersão sem elevar ao quadrado, permanecendo nas unidades originais e resistindo melhor aos outliers que a variância.
Na otimização e no aprendizado de máquina, o valor absoluto é a penalidade L1: minimizar somas de |·| incentiva a esparsidade (muitos zeros exatos), ao contrário da penalidade L2 ao quadrado. Modelos lineares por partes, de faixas de imposto a redes neurais ReLU (max(0, x) = (x + |x|)/2), são construídos a partir de cantos como os do valor absoluto — a dobra no zero é um recurso, não um defeito.
Perguntas frequentes
Por que |x| não é diferenciável em 0?
Diferenciabilidade em um ponto exige que as inclinações de ambos os lados concordem. Para |x|, a inclinação à esquerda é −1 e à direita é +1 — elas discordam, de modo que não existe reta tangente no canto. A função continua sendo contínua ali; apenas tem uma dobra.
Qual é a diferença entre |x| e √(x²)?
Nenhuma — são a mesma função. Elevar ao quadrado remove o sinal de x e a raiz quadrada principal devolve o resultado não negativo, que é exatamente o valor absoluto. A identidade |x| = √(x²) é frequentemente usada para diferenciar |x| longe do zero.
Como resolver |x − 3| = 5?
Leia como “a distância de x até 3 é 5”, dando x = 3 + 5 = 8 ou x = 3 − 5 = −2. Algebricamente, divida em casos: x − 3 = 5 dá x = 8, e x − 3 = −5 dá x = −2. Ambos conferem: |8 − 3| = 5 e |−2 − 3| = 5.