Biblioteca de funciones
Función raíz cuadrada
f(x) = sqrt(x)
La mitad de una parábola tumbada: empieza en el origen, sube rápido y luego se suaviza eternamente.
La función raíz cuadrada, f(x) = √x, es la inversa de elevar al cuadrado (en los no negativos): responde «¿qué número, multiplicado por sí mismo, da x?». Su gráfica es la mitad superior de una parábola tumbada de lado: empieza en el origen, sale disparada casi vertical y luego se suaviza gradualmente, subiendo cada vez más despacio para siempre. Es la imagen especular de y = x² reflejada en la recta y = x, recortada a los valores no negativos donde elevar al cuadrado es invertible.
La raíz cuadrada aparece donde las cantidades se relacionan mediante áreas o energías: el lado de un cuadrado de área x es √x, y la velocidad de un objeto con energía cinética E es proporcional a √E. Los estadísticos la encuentran en la desviación estándar, la raíz cuadrada de la varianza. Escribe sqrt(x) en la calculadora y observa la pendiente en el origen: la tangente es vertical allí, señal de que la inversa de una curva plana es empinada.
Propiedades calculadas
Calculado por el propio motor matemático de la calculadora gráfica al generar esta página para sqrt(x) .
- Raíces en [−10, 10]
- 0.0000
- Intersección con el eje y f(0)
- 0.0000
- Extremos locales en [−10, 10]
- ninguna
- Valores de muestra
- f(-2) = indefinido · f(-1) = indefinido · f(0) = 0 · f(1) = 1 · f(2) = 1.4142
- Derivada f′(1)
- 0.5000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Datos clave
- Dominio: x ≥ 0; rango: y ≥ 0. La raíz cuadrada principal siempre es no negativa.
- Inversa de x² en [0, ∞): √(x²) = |x| y (√x)² = x para x ≥ 0.
- Pasa por (0, 0) y (1, 1); tangente vertical en el origen.
- Estrictamente creciente y cóncava hacia abajo en todo su dominio; sin extremos en el interior.
- Derivada f′(x) = 1/(2√x); √x crece más rápido que ln(x) pero más despacio que cualquier potencia xᵃ con a > 1/2.
- √2 ≈ 1.41421 es irracional: la diagonal del cuadrado unitario.
Qué es la raíz cuadrada
Elevar al cuadrado asigna tanto a 3 como a −3 el 9, así que no tiene inversa sobre todos los reales: dos entradas comparten cada salida positiva. Restringir a x ≥ 0 lo convierte en uno a uno, y su inversa es la raíz cuadrada principal, siempre no negativa. Por eso la calculadora da sqrt(9) = 3 y no ±3: √x significa la raíz no negativa por definición, la convención que mantiene la función bien definida.
Reflejar la mitad derecha de y = x² (x ≥ 0) en la recta y = x produce exactamente la gráfica de √x: cada punto (a, a²) se convierte en (a², a). Los puntos fijos del reflejo están en la recta y = x, así que (0, 0) y (1, 1) pertenecen a ambas gráficas. √2 ≈ 1.414 es el ejemplo irracional clásico: la diagonal de un cuadrado unitario, probada irracional por los griegos.
Dominio, pendiente vertical y forma
El dominio es x ≥ 0: ningún número real elevado al cuadrado da un valor negativo, así que la gráfica simplemente empieza en el origen. La derivada f′(x) = 1/(2√x) explota cuando x → 0⁺, dándole a la gráfica una tangente vertical en el origen: el espejo de la tangente horizontal de x² en el origen. A medida que x crece, la derivada se encoge y la curva se aplana, cóncava hacia abajo en todas partes como corresponde a una inversa de una curva convexa.
Como la función logaritmo, √x crece sin límite pero más despacio que cualquier recta: es la tasa de crecimiento sublineal canónica, más rápida que ln(x) pero más lenta que xᵃ para cualquier a > 1/2. Es creciente en todas partes y no tiene extremos; su «punto final» en (0, 0) es el mínimo global sobre su dominio, y no hay máximo.
Dónde aparece la raíz cuadrada
La física está llena de relaciones de raíz cuadrada: el período de un péndulo es proporcional a √(longitud), la velocidad de escape a √(1/radio), y la velocidad de una caída desde una altura h a √h (de mgh = ½mv²). En estadística, la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, y el error estándar de una media disminuye como 1/√n: cuadruplicar la muestra solo reduce a la mitad la incertidumbre.
En geometría, √x convierte áreas en longitudes: un cuadrado de área A tiene lado √A, y la fórmula de la distancia es una raíz cuadrada del teorema de Pitágoras, d = √(Δx² + Δy²). En computación, la raíz cuadrada entera y la normalización de vectores (dividir por la longitud √(x² + y²)) son operaciones cotidianas, y el famoso truco de la «raíz cuadrada inversa rápida» de los gráficos 3D la aproximaba a toda velocidad.
Preguntas frecuentes
¿Por qué sqrt(9) es 3 y no ±3?
Por convención, √x denota la raíz cuadrada principal: la no negativa. La ecuación x² = 9 tiene dos soluciones, ±3, pero la función raíz cuadrada devuelve solo +3 para que cada entrada tenga exactamente una salida. Cuando resuelvas x² = 9, recuerda añadir el ± tú mismo.
¿Por qué la gráfica es tan empinada en el origen?
Porque es la inversa de x², que es plana en el origen. Reflejar una tangente horizontal en la recta y = x la convierte en una tangente vertical: la derivada 1/(2√x) tiende a infinito cuando x → 0⁺. Las inversas intercambian pendientes empinadas y planas.
¿La raíz cuadrada está definida para números negativos?
No en los reales: ningún número real elevado al cuadrado da un negativo. La gráfica empieza en x = 0. En los complejos sí: √(−1) = i, la unidad imaginaria, pero la gráfica real de la calculadora solo muestra el dominio real x ≥ 0.