Bibliothèque de fonctions

Fonction racine carrée

f(x) = sqrt(x)

La douce demi-parabole — l’inverse de l’élévation au carré, définie pour x ≥ 0.

La fonction racine carrée f(x) = √x répond à « quel nombre non négatif, multiplié par lui-même, donne x ? » Son graphe est la moitié supérieure d’une parabole couchée : partant de l’origine, elle monte raide — avec une tangente verticale — puis se courbe et s’aplatit, passant par (1, 1), (4, 2) et (9, 3). C’est l’inverse de x² restreint à x ≥ 0 : son graphe est donc le miroir de la moitié droite de la parabole y = x² réfléchi par rapport à la droite y = x.

Les racines carrées apparaissent partout où Pythagore intervient : la formule de distance √((Δx)² + (Δy)²) est une racine carrée, tout comme l’écart type, le terme discriminant de la formule quadratique, et la moyenne quadratique derrière les tensions efficaces du courant alternatif. La fonction croît sans borne mais de plus en plus lentement — √1 000 000 ne vaut que 1 000. Tapez sqrt(x) dans la calculatrice et tracez x^2 sur [0, ∞) à côté pour voir la symétrie miroir.

Propriétés calculées

Calculé par le moteur mathématique propre à la calculatrice graphique au moment de la compilation pour sqrt(x) .

Racines dans [−10, 10]: 0.0000
Intersection avec l’axe y f(0): 0.0000
Extrémums locaux dans [−10, 10]: aucune trouvée
Valeurs échantillons: f(-2) = non défini · f(-1) = non défini · f(0) = 0 · f(1) = 1 · f(2) = 1.4142
Dérivée f′(1): 0.5000
Intégrale ∫₀¹ f(x) dx: undefined

Faits essentiels

Racine principale : √x ≥ 0 pour tout x du domaine ; √9 = 3, pas ±3.
Domaine : x ≥ 0 ; ensemble d’arrivée : y ≥ 0. Non définie pour les x négatifs (sur les réels).
Inverse de x² sur [0, ∞) : √(x²) = |x|, et (√x)² = x pour x ≥ 0.
Points clés : (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3) ; tangente verticale à l’origine.
Croissante et concave vers le bas sur son domaine ; minimum 0 en x = 0, pas de maximum.
Dérivée d/dx √x = 1/(2√x) ; lois √(ab) = √a·√b pour a, b ≥ 0.

Ce qu’est la racine carrée

Le symbole √ désigne la racine carrée principale (non négative) : √9 = 3, pas ±3, parce qu’une fonction doit donner une seule sortie par entrée. L’équation x² = 9 a deux solutions, ±3, mais la fonction √x ne renvoie que la non négative — le ± appartient à la résolution d’équations, pas à la fonction. Cette unicité est ce qui rend √x dérivable et traçable comme une unique courbe propre.

Algébriquement, √(x²) = |x|, pas x — la racine défait le carré mais restaure la non-négativité, voilà pourquoi la fonction valeur absolue apparaît. La racine obéit aussi à √(ab) = √a·√b et √(a/b) = √a/√b pour a, b non négatifs, les lois multiplicatives héritées des exposants puisque √x = x^(1/2).

Domaine, forme et tangente verticale

Le domaine est x ≥ 0 : aucun nombre réel élevé au carré ne donne un négatif, donc la fonction ne peut pas accepter d’entrées négatives (sur les réels). En x = 0, le graphe démarre avec une tangente verticale — la dérivée 1/(2√x) explose vers +∞ — ce qu’on voit quand la courbe quitte l’origine droit vers le haut avant de se courber vers la droite. Elle est croissante partout sur son domaine et concave vers le bas partout, s’aplatissant quand x grandit.

L’ensemble d’arrivée est y ≥ 0, et les points notables sont les carrés parfaits : (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4). Entre eux, la courbe interpole en douceur — √2 ≈ 1,414, le célèbre irrationnel dont la découverte secoua les mathématiques pythagoriciennes. La fonction n’a pas de maximum et son seul extrémum d’extrémité est le minimum 0 en x = 0.

Où apparaissent les racines carrées

La distance est le territoire de la racine carrée : de l’hypoténuse de Pythagore à la formule de distance en n dimensions en passant par l’écart type (la racine carrée de la variance), « élever au carré, additionner, extraire la racine » est l’un des motifs les plus répétés des mathématiques. La formule quadratique x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) place une racine carrée au cœur de la résolution des équations du second degré — y compris pour trouver où x² − 4 traverse zéro.

En physique, de nombreuses lois impliquent des racines carrées : la période d’un pendule est proportionnelle à √(longueur), la vitesse de libération à √(1/rayon), et la tension efficace du secteur est la tension de crête divisée par √2. En géométrie, √2 est la diagonale d’un carré unité et le rapport d’aspect du papier de série A.

Tracer f(x) = sqrt(x) dans la calculatrice

Questions fréquentes

Pourquoi √9 ne vaut-elle pas ±3 ?

Parce que √ désigne une fonction, et les fonctions renvoient exactement une valeur par entrée — par convention, la racine non négative. L’équation x² = 9 a bien deux solutions, x = 3 et x = −3, mais seule 3 est √9. Écrire ±√9 récupère les deux solutions quand on résout.

Pourquoi ne peut-on pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif (dans les réels) ?

Parce que tout nombre réel élevé au carré est non négatif : les positifs donnent des carrés positifs, les négatifs donnent des carrés positifs, et zéro donne zéro. Rien de réel élevé au carré ne donne −1 : √(−1) n’a donc aucune valeur réelle. Étendre le système de nombres avec i, où i² = −1, donne des racines carrées complexes.

Quelle est la dérivée de √x en x = 0 ?

Elle n’existe pas — la dérivée 1/(2√x) tend vers +∞ quand x → 0⁺ : le graphe a donc une tangente verticale à l’origine. Géométriquement, la courbe quitte (0, 0) en partant droit vers le haut ; il n’y a pas de pente finie à cet endroit, bien que la fonction elle-même soit continue en 0.