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Função Raiz Quadrada
f(x) = sqrt(x)
A suave meia-parábola — a inversa de elevar ao quadrado, definida para x ≥ 0.
A função raiz quadrada f(x) = √x responde “qual número não negativo, multiplicado por si mesmo, dá x?” Seu gráfico é a metade superior de uma parábola deitada: partindo da origem, sobe íngreme — com uma tangente vertical — depois se curva e se achata, passando por (1, 1), (4, 2) e (9, 3). É a inversa de x² restrita a x ≥ 0, de modo que seu gráfico é o espelho da metade direita da parábola y = x² refletida na reta y = x.
As raízes quadradas aparecem onde quer que Pitágoras apareça: a fórmula da distância √((Δx)² + (Δy)²) é uma raiz quadrada, assim como o desvio padrão, o termo do discriminante da fórmula quadrática e a média quadrática por trás das tensões nominais de corrente alternada. A função cresce sem limite, mas cada vez mais devagar — √1.000.000 é apenas 1.000. Digite sqrt(x) na calculadora e plote x^2 em [0, ∞) ao lado para ver a simetria espelhada.
Propriedades calculadas
Calculado pelo próprio motor matemático da calculadora gráfica em tempo de construção para sqrt(x) .
- Raízes em [−10, 10]
- 0.0000
- Interseção com o eixo y f(0)
- 0.0000
- Extremos locais em [−10, 10]
- nenhuma encontrada
- Valores de amostra
- f(-2) = indefinido · f(-1) = indefinido · f(0) = 0 · f(1) = 1 · f(2) = 1.4142
- Derivada f′(1)
- 0.5000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Fatos principais
- Raiz principal: √x ≥ 0 para todo x no domínio; √9 = 3, não ±3.
- Domínio: x ≥ 0; imagem: y ≥ 0. Indefinida para x negativo (sobre os reais).
- Inversa de x² em [0, ∞): √(x²) = |x|, e (√x)² = x para x ≥ 0.
- Pontos-chave: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3); tangente vertical na origem.
- Crescente e côncava para baixo em seu domínio; mínimo 0 em x = 0, sem máximo.
- Derivada d/dx √x = 1/(2√x); leis √(ab) = √a·√b para a, b ≥ 0.
O que é a raiz quadrada
O símbolo √ denota a raiz quadrada principal (não negativa): √9 = 3, não ±3, porque uma função deve dar uma única saída por entrada. A equação x² = 9 tem duas soluções, ±3, mas a função √x retorna apenas a não negativa — o ± pertence à resolução de equações, não à função. Essa univocidade é o que torna √x diferenciável e graficável como uma única curva limpa.
Algebricamente, √(x²) = |x|, não x — a raiz desfaz o quadrado, mas restaura a não negatividade, e é por isso que a função valor absoluto aparece. A raiz também obedece √(ab) = √a·√b e √(a/b) = √a/√b para a, b não negativos, as leis multiplicativas herdadas dos expoentes, já que √x = x^(1/2).
Domínio, forma e a tangente vertical
O domínio é x ≥ 0: nenhum número real ao quadrado dá um negativo, de modo que a função não pode aceitar entradas negativas (sobre os reais). Em x = 0, o gráfico começa com uma tangente vertical — a derivada 1/(2√x) explode para +∞ — o que você pode ver como a curva saindo da origem direto para cima antes de se curvar para a direita. Ela é crescente em todo o seu domínio e côncava para baixo em todo o domínio, achatando-se à medida que x cresce.
A imagem é y ≥ 0, e pontos notáveis são os quadrados perfeitos: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4). Entre eles, a curva interpola suavemente — √2 ≈ 1,414, o famoso irracional cuja descoberta abalou a matemática pitagórica. A função não tem máximo, e seu único extremo de ponta é o mínimo 0 em x = 0.
Onde as raízes quadradas aparecem
A distância é o território natal da raiz quadrada: da hipotenusa de Pitágoras à fórmula da distância n-dimensional ao desvio padrão (a raiz quadrada da variância), “elevar ao quadrado, somar, extrair a raiz” é um dos padrões mais repetidos da matemática. A fórmula quadrática x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) coloca uma raiz quadrada no coração da resolução de quadráticas — incluindo encontrar onde x² − 4 cruza o zero.
Na física, muitas leis envolvem raízes quadradas: o período de um pêndulo é proporcional a √(comprimento), a velocidade de escape a √(1/raio), e a tensão RMS da rede de corrente alternada é a tensão de pico dividida por √2. Na geometria, √2 é a diagonal de um quadrado unitário e a proporção das folhas de papel da série A.
Perguntas frequentes
Por que √9 não é igual a ±3?
Porque √ denota uma função, e funções retornam exatamente um valor por entrada — por convenção, a raiz não negativa. A equação x² = 9 de fato tem duas soluções, x = 3 e x = −3, mas apenas 3 é √9. Escrever ±√9 recupera ambas as soluções ao resolver.
Por que não se pode tirar a raiz quadrada de um número negativo (nos reais)?
Porque todo número real ao quadrado é não negativo: positivos dão quadrados positivos, negativos dão quadrados positivos e zero dá zero. Nada real ao quadrado dá −1, então √(−1) não tem valor real. Estender o sistema numérico com i, onde i² = −1, dá raízes quadradas complexas.
Qual é a derivada de √x em x = 0?
Ela não existe — a derivada 1/(2√x) tende a +∞ quando x → 0⁺, de modo que o gráfico tem uma tangente vertical na origem. Geometricamente, a curva sai de (0, 0) rumo direto para cima; não há inclinação finita ali, embora a própria função seja contínua em 0.