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Funzione radice quadrata
f(x) = sqrt(x)
La dolce mezza parabola — l’inversa dell’elevamento al quadrato, definita per x ≥ 0.
La funzione radice quadrata f(x) = √x risponde a “quale numero non negativo, moltiplicato per sé stesso, dà x?” Il suo grafico è la metà superiore di una parabola sdraiata: partendo dall’origine, sale ripidamente — con una tangente verticale — poi si piega e si appiattisce, passando per (1, 1), (4, 2) e (9, 3). È l’inversa di x² ristretta a x ≥ 0, quindi il suo grafico è lo specchio della metà destra della parabola y = x² riflessa sulla retta y = x.
Le radici quadrate compaiono ovunque compare Pitagora: la formula della distanza √((Δx)² + (Δy)²) è una radice quadrata, e così la deviazione standard, il termine discriminante della formula quadratica e la radice della media dei quadrati dietro le tensioni AC nominali. La funzione cresce senza limite ma sempre più lentamente — √1,000,000 è solo 1,000. Digita sqrt(x) nella calcolatrice e traccia x^2 su [0, ∞) accanto per vedere la simmetria speculare.
Proprietà calcolate
Calcolate dal motore matematico della calcolatrice grafica al momento della build per sqrt(x) .
- Radici in [−10, 10]
- 0.0000
- Intercetta y f(0)
- 0.0000
- Estremi locali in [−10, 10]
- nessuna trovata
- Valori campione
- f(-2) = non definito · f(-1) = non definito · f(0) = 0 · f(1) = 1 · f(2) = 1.4142
- Derivata f′(1)
- 0.5000
- Integrale ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Fatti chiave
- Radice principale: √x ≥ 0 per ogni x nel dominio; √9 = 3, non ±3.
- Dominio: x ≥ 0; codominio: y ≥ 0. Indefinita per x negativi (sui reali).
- Inversa di x² su [0, ∞): √(x²) = |x|, e (√x)² = x per x ≥ 0.
- Punti chiave: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3); tangente verticale nell’origine.
- Crescente e concava verso il basso sul suo dominio; minimo 0 in x = 0, nessun massimo.
- Derivata d/dx √x = 1/(2√x); leggi √(ab) = √a·√b per a, b ≥ 0.
Cos’è la radice quadrata
Il simbolo √ denota la radice quadrata principale (non negativa): √9 = 3, non ±3, perché una funzione deve dare un output per input. L’equazione x² = 9 ha due soluzioni, ±3, ma la funzione √x restituisce solo quella non negativa — il ± appartiene alla risoluzione di equazioni, non alla funzione. Questa univalenza è ciò che rende √x derivabile e tracciabile come un’unica curva pulita.
Algebricamente, √(x²) = |x|, non x — la radice disfa il quadrato ma ripristina la non negatività, ed è per questo che compare la funzione valore assoluto. La radice obbedisce anche a √(ab) = √a·√b e √(a/b) = √a/√b per a, b non negativi, le leggi moltiplicative ereditate dagli esponenti poiché √x = x^(1/2).
Dominio, forma e tangente verticale
Il dominio è x ≥ 0: nessun numero reale al quadrato dà un negativo, quindi la funzione non può accettare input negativi (sui reali). In x = 0 il grafico parte con una tangente verticale — la derivata 1/(2√x) esplode a +∞ — cosa che puoi vedere come la curva che lascia l’origine dritta verso l’alto prima di piegarsi a destra. È crescente ovunque sul suo dominio e concava verso il basso ovunque, appiattendosi mentre x cresce.
Il codominio è y ≥ 0, e i punti notevoli sono i quadrati perfetti: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4). Tra loro la curva interpola lisciamente — √2 ≈ 1.414, il famoso irrazionale la cui scoperta scosse la matematica pitagorica. La funzione non ha massimo e il suo unico estremo di bordo è il minimo 0 in x = 0.
Dove compaiono le radici quadrate
La distanza è il territorio domestico della radice quadrata: dall’ipotenusa di Pitagora alla formula della distanza n-dimensionale alla deviazione standard (la radice quadrata della varianza), “eleva al quadrato, somma, radice” è uno dei motivi più ripetuti della matematica. La formula quadratica x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) mette una radice quadrata al cuore della risoluzione delle quadratiche — incluso trovare dove x² − 4 attraversa lo zero.
In fisica, molte leggi coinvolgono radici quadrate: il periodo di un pendolo è proporzionale a √(lunghezza), la velocità di fuga a √(1/raggio), e la tensione RMS della rete AC è la tensione di picco divisa per √2. In geometria, √2 è la diagonale di un quadrato unitario e il rapporto d’aspetto della carta in formato A.
Domande frequenti
Perché √9 non è uguale a ±3?
Perché √ denota una funzione, e le funzioni restituiscono esattamente un valore per input — per convenzione la radice non negativa. L’equazione x² = 9 ha effettivamente due soluzioni, x = 3 e x = −3, ma solo 3 è √9. Scrivere ±√9 recupera entrambe le soluzioni quando risolvi.
Perché non puoi fare la radice quadrata di un numero negativo (nei reali)?
Perché ogni numero reale al quadrato è non negativo: i positivi danno quadrati positivi, i negativi danno quadrati positivi, e lo zero dà zero. Niente di reale al quadrato dà −1, quindi √(−1) non ha valore reale. Estendere il sistema numerico con i, dove i² = −1, dà radici quadrate complesse.
Qual è la derivata di √x in x = 0?
Non esiste — la derivata 1/(2√x) tende a +∞ mentre x → 0⁺, quindi il grafico ha una tangente verticale nell’origine. Geometricamente la curva lascia (0, 0) puntando dritta verso l’alto; non c’è una pendenza finita lì, sebbene la funzione stessa sia continua in 0.