Funktionsbibliothek
Quadratwurzelfunktion
f(x) = sqrt(x)
Die sanfte Halbparabel — die Umkehrung des Quadrierens, definiert für x ≥ 0.
Die Quadratwurzelfunktion f(x) = √x beantwortet „welche nicht-negative Zahl, mit sich selbst multipliziert, ergibt x?“ Ihr Graph ist die obere Hälfte einer seitlichen Parabel: Beginnend am Ursprung steigt sie steil an — mit einer senkrechten Tangente — biegt dann um und flacht ab, wobei sie (1, 1), (4, 2) und (9, 3) passiert. Sie ist die Umkehrung von x² eingeschränkt auf x ≥ 0, sodass ihr Graph das Spiegelbild der rechten Hälfte der Parabel y = x² an der Geraden y = x ist.
Quadratwurzeln erscheinen überall, wo Pythagoras es tut: Die Abstandsformel √((Δx)² + (Δy)²) ist eine Quadratwurzel, ebenso die Standardabweichung, der Diskriminantenterm der Mitternachtsformel und der quadratische Mittelwert hinter Wechselspannungsangaben. Die Funktion wächst unbeschränkt, aber immer langsamer — √1.000.000 ist nur 1.000. Geben Sie sqrt(x) in den Rechner ein und zeichnen Sie x^2 auf [0, ∞) daneben, um die Spiegelsymmetrie zu sehen.
Berechnete Eigenschaften
Zur Build-Zeit von der eigenen Rechen-Engine des Grafikrechners berechnet für sqrt(x) .
- Nullstellen in [−10, 10]
- 0.0000
- y-Achsenabschnitt f(0)
- 0.0000
- Lokale Extremstellen in [−10, 10]
- keine gefunden
- Stichprobenwerte
- f(-2) = undefiniert · f(-1) = undefiniert · f(0) = 0 · f(1) = 1 · f(2) = 1.4142
- Ableitung f′(1)
- 0.5000
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- undefined
Wichtige Fakten
- Hauptwurzel: √x ≥ 0 für alle x im Definitionsbereich; √9 = 3, nicht ±3.
- Definitionsbereich: x ≥ 0; Wertebereich: y ≥ 0. Undefiniert für negative x (über den reellen Zahlen).
- Umkehrung von x² auf [0, ∞): √(x²) = |x|, und (√x)² = x für x ≥ 0.
- Schlüsselpunkte: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3); senkrechte Tangente am Ursprung.
- Steigend und rechtsgekrümmt auf ihrem Definitionsbereich; Minimum 0 bei x = 0, kein Maximum.
- Ableitung d/dx √x = 1/(2√x); Gesetze √(ab) = √a·√b für a, b ≥ 0.
Was die Quadratwurzel ist
Das Symbol √ bezeichnet die Hauptwurzel (nicht-negativ): √9 = 3, nicht ±3, weil eine Funktion pro Eingabe eine Ausgabe geben muss. Die Gleichung x² = 9 hat zwei Lösungen, ±3, aber die Funktion √x gibt nur die nicht-negative zurück — das ± gehört zum Lösen von Gleichungen, nicht zur Funktion. Diese Eindeutigkeit macht √x differenzierbar und als eine saubere Kurve zeichenbar.
Algebraisch gilt √(x²) = |x|, nicht x — die Wurzel macht das Quadrat rückgängig, stellt aber Nicht-Negativität wieder her, darum erscheint die Betragsfunktion. Die Wurzel gehorcht auch √(ab) = √a·√b und √(a/b) = √a/√b für nicht-negative a, b, den multiplikativen Gesetzen, die von den Exponenten geerbt sind, da √x = x^(1/2).
Definitionsbereich, Form und die senkrechte Tangente
Der Definitionsbereich ist x ≥ 0: Keine reelle Zahl quadriert sich zu einer negativen, sodass die Funktion negative Eingaben nicht akzeptieren kann (über den reellen Zahlen). Bei x = 0 startet der Graph mit einer senkrechten Tangente — die Ableitung 1/(2√x) explodiert gegen +∞ — was man sieht, wie die Kurve den Ursprung gerade nach oben verlässt, bevor sie nach rechts biegt. Sie steigt überall auf ihrem Definitionsbereich und ist überall rechtsgekrümmt, wobei sie mit wachsendem x abflacht.
Der Wertebereich ist y ≥ 0, und bemerkenswerte Punkte sind perfekte Quadrate: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4). Dazwischen interpoliert die Kurve glatt — √2 ≈ 1,414, die berühmte irrationale Zahl, deren Entdeckung die pythagoreische Mathematik erschütterte. Die Funktion hat kein Maximum, und ihr einziges Randextremum ist das Minimum 0 bei x = 0.
Wo Quadratwurzeln vorkommen
Abstand ist das Heimatterrain der Quadratwurzel: von der Pythagoras-Hypotenuse über die n-dimensionale Abstandsformel bis zur Standardabweichung (der Quadratwurzel der Varianz) ist „quadrieren, addieren, Wurzel ziehen“ eines der meistwiederholten Muster der Mathematik. Die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) setzt eine Quadratwurzel ins Herz des Lösens quadratischer Gleichungen — inklusive des Findens, wo x² − 4 null kreuzt.
In der Physik involvieren viele Gesetze Quadratwurzeln: Die Periode eines Pendels ist proportional zu √(Länge), die Fluchtgeschwindigkeit zu √(1/Radius), und die Effektivspannung des Wechselstromnetzes ist die Spitzenspannung geteilt durch √2. In der Geometrie ist √2 die Diagonale eines Einheitsquadrats und das Seitenverhältnis von A-Serien-Papier.
Häufig gestellte Fragen
Warum ist √9 nicht gleich ±3?
Weil √ eine Funktion bezeichnet und Funktionen pro Eingabe genau einen Wert zurückgeben — per Konvention die nicht-negative Wurzel. Die Gleichung x² = 9 hat zwar zwei Lösungen, x = 3 und x = −3, aber nur 3 ist √9. Das Schreiben von ±√9 stellt beim Lösen beide Lösungen wieder her.
Warum kann man keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen (in den reellen Zahlen)?
Weil jede reelle Zahl quadriert nicht-negativ ist: Positive geben positive Quadrate, Negative geben positive Quadrate, und null gibt null. Nichts Reelles quadriert sich zu −1, sodass √(−1) keinen reellen Wert hat. Die Erweiterung des Zahlensystems mit i, wobei i² = −1, ergibt komplexe Quadratwurzeln.
Was ist die Ableitung von √x bei x = 0?
Sie existiert nicht — die Ableitung 1/(2√x) strebt gegen +∞ für x → 0⁺, sodass der Graph eine senkrechte Tangente am Ursprung hat. Geometrisch verlässt die Kurve (0, 0) gerade nach oben; es gibt dort keine endliche Steigung, obwohl die Funktion selbst bei 0 stetig ist.