Bibliothèque de fonctions

Fonction du second degré

f(x) = x^2 - 4

La parabole x² − 4 : une courbe en U avec des racines en ±2 et son point le plus bas en (0, −4).

La fonction du second degré f(x) = x² − 4 est la parabole la plus simple qui ait quelque chose d’intéressant : elle traverse l’axe des x deux fois, plonge en dessous, et fait demi-tour en un unique point le plus bas. Élever au carré rend chaque entrée non négative : x² est donc minimal en x = 0, et soustraire 4 fait glisser toute la forme en U de quatre unités vers le bas. Le résultat est une courbe symétrique avec un sommet en (0, −4), ouverte vers le haut pour toujours.

Les fonctions du second degré sont les bêtes de somme de l’algèbre : elles modélisent tout ce où une quantité dépend du carré d’une autre — l’aire d’un carré, la hauteur d’une balle lancée en fonction du temps, le profit d’une entreprise à demande linéaire. L’exemple x² − 4 est particulièrement instructif car il se factorise proprement en (x − 2)(x + 2) : ses intersections avec l’axe des x en 2 et −2 se lisent donc directement sur l’algèbre. Tracez-la dans la calculatrice et observez la symétrie par rapport à l’axe des y.

Propriétés calculées

Calculé par le moteur mathématique propre à la calculatrice graphique au moment de la compilation pour x^2 - 4 .

Racines dans [−10, 10]: -2.0000, 2.0000
Intersection avec l’axe y f(0): -4.0000
Extrémums locaux dans [−10, 10]: local minimum at (0.0000, -4.0000)
Valeurs échantillons: f(-2) = 0 · f(-1) = -3 · f(0) = -4 · f(1) = -3 · f(2) = 0
Dérivée f′(1): 2.0000
Intégrale ∫₀¹ f(x) dx: -3.6667

Faits essentiels

Forme factorisée : x² − 4 = (x − 2)(x + 2) ; racines (intersections avec l’axe x) en x = 2 et x = −2.
Sommet (minimum global) en (0, −4) ; l’axe de symétrie est l’axe des y (x = 0).
Domaine : tous les réels ; ensemble d’arrivée : y ≥ −4.
Fonction paire : f(−x) = f(x) ; le graphe se reflète par rapport à l’axe des y.
Intersection avec l’axe y en (0, −4) ; la fonction est négative entre les racines et positive en dehors.
Dérivée f′(x) = 2x ; la pente est nulle au sommet et la dérivée seconde est la constante 2.

Ce qu’est cette fonction du second degré

Toute fonction du second degré a la forme ax² + bx + c, et son graphe est toujours une parabole — la forme en U qu’on obtient en élevant au carré. Ici a = 1 (positif, donc le U s’ouvre vers le haut), b = 0 (pas d’inclinaison, donc le sommet est sur l’axe des y), et c = −4 (l’ordonnée à l’origine). La formule du sommet x = −b/(2a) donne x = 0, et f(0) = −4, confirmant le minimum en (0, −4).

La factorisation révèle les racines : x² − 4 = (x − 2)(x + 2), une différence de carrés : la courbe traverse donc l’axe des x exactement là où chaque facteur s’annule — en x = 2 et x = −2. Entre les racines, la fonction est négative (le creux sous l’axe) ; en dehors, elle est positive et croît sans borne. Comme le terme x² domine pour les grands |x|, les deux bras de la parabole partent vers +∞.

Symétrie, sommet et taux de variation

L’axe des y est l’axe de symétrie de la parabole : f(−x) = f(x), donc la moitié gauche reflète la droite. Le sommet est le point de retournement de la parabole — ici le minimum global, puisque les bras montent éternellement. Toute fonction du second degré a exactement un sommet et exactement une valeur extrême : voilà pourquoi elles sont le modèle de choix pour l’optimisation, profit maximal, coût minimal, point le plus haut d’une trajectoire.

La dérivée f′(x) = 2x raconte le reste de l’histoire : négative pour x < 0 (descente vers le sommet), nulle en x = 0 (le fond plat), positive pour x > 0 (remontée). La pente elle-même croît linéairement, une dérivée seconde constante de 2 — la signature de l’accélération constante, voilà pourquoi la distance sous gravité est du second degré en temps.

Où apparaissent les fonctions du second degré

Lancez une balle et sa hauteur suit une parabole : h(t) = −4,9t² + v₀t + h₀, la même forme que x² − 4 mais retournée et décalée. Aires et volumes produisent naturellement des fonctions du second et du troisième degré — doubler le côté d’un carré quadruple son aire — et la formule quadratique résout toute équation de ce type, y compris celle-ci : x = ±√4 = ±2.

En économie, le profit en fonction du prix est souvent modélisé par une parabole ouverte vers le bas (le revenu monte puis chute quand le prix grimpe), et son sommet donne le prix optimal. En statistique, l’ajustement par moindres carrés minimise une fonction d’erreur du second degré, et la courbe en cloche de la loi normale est e^(−x²) — un second degré dans l’exposant.

Tracer f(x) = x^2 - 4 dans la calculatrice

Questions fréquentes

Comment trouver les racines de x² − 4 ?

Factorisez comme une différence de carrés : x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Un produit est nul quand l’un de ses facteurs est nul : x = 2 ou x = −2. De façon équivalente, la formule quadratique donne x = (0 ± √(0 + 16))/2 = ±2.

Quelle est la valeur minimale de x² − 4 ?

−4, atteinte en x = 0. Comme x² ≥ 0 pour tout x réel, soustraire 4 donne x² − 4 ≥ −4, avec égalité seulement quand x² = 0. Le sommet (0, −4) est le point le plus bas de la parabole, et la fonction croît sans borne des deux côtés.

Pourquoi le graphe est-il symétrique ?

Parce que seules des puissances paires de x apparaissent : (−x)² − 4 = x² − 4, donc f(−x) = f(x). Chaque entrée et son opposée donnent la même sortie, ce qui reflète la moitié droite du graphe par rapport à l’axe des y sur la moitié gauche.